Ha aparecido en Physical Review Letters un artículo titulado algo así como “La popularidad de las aperturas en las partidas de ajedrez sigue la ley de Zipf”. ¿Qué hacen dos científicos respetables, B. Blasius y R. Tönjes, estudiando las partidas de ajedrez? Pues el tema tiene más interés del que podría parecer a primera vista. Los mismos editores de la revista han encargado un comentario sobre el artículo.

            George Kingsley Zipf fue un lingüista que en 1949 publicó un libro con un título fascinante: “El comportamiento humano y la ley del mínimo esfuerzo”. Comentar el libro nos llevaría por otros derroteros; baste decir que Zipf estaba interesado en las ocurrencias relativas de las palabras usadas en el lenguaje. Su trabajo ha sido reproducido después en otros estudios; se encuentra que si se ordenan las palabras según las veces que se usan, se obtiene una ley de potencias inversa (la “ley de Zipf”). Con un ejemplo se puede entender bastante bien. En inglés, la palabra que se usa con más frecuencia es el artículo the. La segunda en número de veces que se usa es of, la tercera and, y así sucesivamente. Pongamos que k sea el puesto que ocupa cierta palabra en esta lista, y P (k) la frecuencia con que se usa dicha palabra (o sea, el tanto por ciento de veces que aparece; algo así como la probabilidad de encontrar la palabra en cuestión). Pues bien, la ley de Zipf se puede expresar así: P (k) ∝ 1/k ^s, donde s es un número positivo (el signo ∝ significa proporcional a). Una ley de potencias inversa, vamos.

            El hecho es que la ley de Zipf –aparte de en la frecuencia de uso de las palabras– aparece en multitud de situaciones, como son el número de citas que reciben los artículos de los científicos, el número de visitas a las páginas individuales de Internet en un intervalo de tiempo dado, o al ordenar las ciudades por tamaños. Además, se da la particularidad de que en estos casos citados, y en muchos otros, aunque no siempre, el exponente s es cercano a 2. Tan es así, que este mismo mes ha aparecido otro artículo (éste en Europhysics Letters: la referencia es Q. Chen, C. Wang and Y. Wang, “Deformed Zipf’s law in personal donation”, Europhys. Lett.  88 (2009), 38001) donde se afirma que las donaciones individuales para las víctimas del terremoto de Sichuan, el que tuvo lugar en China el año pasado, también siguen la ley de Zipf.

            Volvamos a las partidas de ajedrez. Blasius y Tönjes han analizado las jugadas contenidas en una base de datos pública: http://scid.sourceforge.net/ y han encontrado que las aperturas, ordenadas según la frecuencia con que se usan (la popularidad), siguen la ley de Zipf, con un exponente s igual a 2. Ese valor del exponente tiene algo de intrigante. Si el exponente es mayor que 2, entonces es posible calcular el promedio, y la desviación típica, y otras cantidades que definen la estadística de la distribución. Pero si el exponente es menor que 2 (por ejemplo, si se tuviera la ley P (k) ∝ 1/k, donde el exponente vale 1) el promedio no converge. Quiere esto decir que dependería del tiempo que uno se pase midiendo la cantidad considerada, o del tamaño de la muestra, o de algunas peculiaridades del experimento. Algo feo, en cualquier caso. Cuando ocurre eso, la distribución suele mostrar una cola larga, porque en el gráfico efectivamente se ve que los elementos situados muy atrás en la lista (k grande) siguen teniendo un peso relevante. Sucesos extremos, les llaman algunos, difíciles de predecir.

            A los científicos nos resultan interesantes las leyes de potencias, pero pocos sabríamos argumentar rigurosamente por qué. Quizá por la misma razón que a un tiburón le resulta interesante el olor a sangre. Por establecer una distinción, señalaré que una ley exponencial (como sería P(k) = e^k/t ) tiene un parámetro característico t con el que queda determinada la distribución. Además, suele provenir de un proceso lineal, proporcional. Por ejemplo: si el incremento anual de cierta población es proporcional al tamaño de esa población, se obtiene un comportamiento exponencial; si la tasa de variación de la velocidad es proporcional a la velocidad misma, como ocurre en el frenado causado por la viscosidad de un fluido, se obtiene un comportamiento exponencial; etcétera. Es algo bien comprendido, y por tanto aburrido para un científico. En cambio, las leyes de potencias suelen provenir de mecanismos complejos, en los que no existe una escala o parámetro característico, y que no se suelen entender tan fácilmente: como la decisión de empezar la partida moviendo el peón de rey ...