¿Qué tren llega primero?

09/10/2017 0 comentarios
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Un anuncio publicitario de Correos afirma que «el metro siempre llega antes al andén de enfrente» es una creencia común. En la entrada se realiza un ejercicio elemental de cálculo donde se demuestra que para ciertos andenes la creencia es cierta, pero para otros no. Era de esperar, desde luego.

La empresa Correos está haciendo una campaña publicitaria del estilo "patriótico-sentimental". La campaña se denomina Algo muy nuestro y va poniendo varios ejemplos de ideas que el publicista imagina que la gente siente como suyas, y las hace análogas a Correos, que según ellos la gente también sentiría como suya. Al margen del estilo de la campaña, que para mí es tan insoportable como las de la ONCE o de la Lotería Nacional española, querría analizar el ejemplo primero que apareció en los carteles publicitarios.

Cartel publicitario

"Creer que el metro llega siempre antes al andén de enfrente". ¿Es esa afirmación una creencia, o quizá tiene algo de cierto? Este pensamiento es en cierto modo análogo al que tenemos cuando estamos en un atasco en la autopista, y creemos ver que los otros dos carriles van siempre más rápido que el nuestro. Evidentemente este segundo ejemplo es una falacia, porque uno se encuentra al azar en uno u otro carril, y probablemente el usuario sólo se fija en la demora cuando ve que los demás van más rápido, pero no se fija en que otras veces es él el favorecido.

El problema del metro y los andenes se puede modelizar matemáticamente. Aquí haremos una aproximación elemental intuitiva. Imaginemos un extremo de la línea, con la estación final y cuatro estaciones en la línea. Imaginemos que hay un tren cada 10 minutos, que los trenes se esperan 2 minutos al final de la línea, paran 1 min en cada estación, y tardan 1 min en viajar de una estación a la siguiente. Finalmente, imaginemos que llegan pasajeros a las estaciones A, B, C y D, a las 10:00, las 10:01, las 10:02 y así sucesivamente hasta las 10:09.

El pasajero que llega a las 10:00 a la estación A para ir hacia la derecha de la figura, esto es, para alejarse del final, verá un tren circulando hacia su derecha a las 10:01, y lo tomará. Y ya no verá que a la estación A llega un tren hacia su izquierda a las 10:06, que saldrá de dicha estación a las 10:07, llegará al final a las 10:08 y saldrá hacia la derecha a las 10:10. El primer tren que el pasajero de las 10:00 ha visto va, pues, hacia la derecha, lo que contradice la creencia.

El pasajero que llega a la estación A a las 10:01 tomará el tren hacia su derecha a las 10:01, y ya no verá tampoco el tren hacia su izquierda de las 10:06. En cambio, si llega a las 10:02, el primer tren que verá será el que va hacia su izquierda a las 10:06, y no podrá tomar su tren hacia la derecha hasta las 10:11. Lo mismo les pasa a los pasajeros que llegan a la estación A a las 10:03, 10:04, 10:05 y 10:06, pero los que llegan a las 10:07, 10:08 y 10:09 verán el primer tren pasar hacia la derecha.

En resumen, la probabilidad de ver un tren hacia la derecha o hacia la izquierda es, para la estación A, de 5 sobre 10. La hipótesis de que siempre ves pasar el tren del otro andén no se satisface.

¿Qué pasa en la estación B? El primer tren que va a la derecha y se aleja del final pasa a las 10:03, y el siguiente a las 10:13. El primero que va a la izquierda llega a las 10:04 y el siguiente a las 10:14. Los pasajeros que llegan a la estación entre 10:00 y 10:03, y entre 10:05 y 10:09 ven primero el tren que se aleja del final, y sólo los que llegan a las 10:04 ven que pasa primero el que va en dirección al final. La probabilidad, en esta estación, es de 9 a 1. La hipótesis inicial de que "pasa siempre el tren del otro andén" no se satisface para los pasajeros que quieren viajar en sentido contrario al del final de línea, pero sí para los que van hacia la estación final.

En la estación C vemos que las frecuencias son justo al revés. De 10 pasajeros que llegan a lo largo de los minutos, siete verán primero el tren que va hacia el final y sólo tres verán primero el tren que va en sentido contrario. Y exactamente a la inversa ocurre a los pasajeros de la estación D.

Esquema horario

Resumiendo, según la estación se da un comportamiento u otro. La creencia de que siempre pasa primero el tren del andén contrario es, pues, una creencia pero no es cierta en términos generales. Pero sí que será cierta para determinadas estaciones para algún andén. En nuestro ejemplo lo es para el 90 % de los viajeros de la estación B que van hacia el final de línea. La validez de la hipótesis dependerá de la frecuencia de los trenes, de las distancias entre estaciones, de la duración de las paradas a las estaciones...

Para ver si esta conclusión es generalizable, habría que desarrollar la modelización matemática completa, suponiendo n estaciones separadas por distancias d diferentes entre ellas, y con frecuencias de trenes variables. Esto lo dejo como ejercicio para el lector... o para los redactores de la sección Juegos matemáticos de Investigación y Ciencia. Para ellos será un ejercicio trivial.