Los orígenes de la teoría de supercuerdas II: la primera revolución

13/06/2015 2 comentarios
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Tras haber revisado el nacimiento de la teoría de supercuerdas en la anterior entrada, en esta segunda parte nos centramos en los dos hitos que marcaron la llamada "primera revolución de las supercuerdas": la cancelación de anomalías y la formulación de la supercuerda heterótica.

En la última entrada de este blog habíamos visto cómo los modelos duales -inicialmente un intento de modelizar la interacción nuclear fuerte- acabaron convirtiéndose en la teoría de supercuerdas, que durante cuatro décadas ha sido el candidato preferido no solamente para una teoría de una gravedad cuántica, sino para una descripción unificada de las cuatro interacciones fundamentales.

Recordemos que la idea básica detrás de las teorías de (super)cuerdas es que lo que experimentalmente observamos como partículas corresponde a los diversos modos de vibración (excitaciones) de una cuerda fundamental. Toda la materia que conocemos está constituida en último término por fermiones, más concretamente por partículas de espín 1/2 tales como los electrones y los quarks. Estos fermiones son quirales, esto es sus componentes dextrógiras y levógiras interaccionan de forma diferente.

Las interacciones fundamentales, sin embargo, están mediadas por bosones. En el caso de QCD y la interacción electrodébil estas partículas tiene espín 1 y corresponden a los gluones, el fotón y los bosones W y Z. En el caso de la gravedad la partícula mediadora, el gravitón, ha de tener espín 2. Finalmente, tenemos el bosón de Higgs que tiene espín 0 y que es responsable de inducir la ruptura espontánea de invariancia gauge que genera la masa de leptones, quarks y los bosones W y Z.

Supercuerdas abiertas y cerradas

Por lo tanto, cualquier teoría de cuerdas que aspire a describir la realidad debe contener bosones y fermiones. Esto excluye los modelos "fundacionales" de la teoría de cuerdas, esto es los de Veneziano y Virasoro-Shapiro, cuyo espectro estaba constituido exclusivamente por estados bosónicos. Afortunadamente, a principios de la década de 1980 existían tres modelos de supercuerdas diferentes que sí contenían excitaciones fermiónicas.

Uno de ellos era el ya mencionado modelo de Ramond-Neveu-Schwarz que incluía cuerdas abiertas y cerradas y que se acabó denominando supercuerda de tipo I. Junto a él, en 1982 Michael Green y John Schwarz habían formulado dos nuevas teorías de supercuerdas que contenían exclusivamente cuerdas cerradas y que se llamaron respectivamente supercuerdas de tipo IIA y IIB. Estos tres modelos (tipo I, IIA y IIB) sólo podían ser formulados en un espacio-tiempo de diez dimensiones.

De ellos, el más interesante desde el punto de vista fenomenológico resultaba ser la supercuerda de tipo I. Esta contiene cuerdas abiertas y cerradas y en su espectro de excitaciones aparecen fermiones quirales de espín 1/2 y bosones de espín 1 que podían identificarse con leptones, quarks y bosones gauge. Además, como vimos en la anterior entrada de este blog, el estado de cuerda cerrada con masa cero y espín 2 se comportaba exactamente como el gravitón.

Este modelo de supercuerdas, sin embargo, no admite cualquier grupo gauge. La forma de introducir la interacción gauge en la supercuerda de tipo I es asumir que las cuerdas abiertas tiene cargas gauge puntuales localizadas en sus extremos. El problema es que no todos los grupos gauge pueden implementarse de esta manera, sino solamente los unitarios, ortogonales y simplécticos. En particular quedan excluidos los llamados “grupos excepcionales” -tales como G2, F4, E6, E7 y E8.

Además, dado que el modelo se formula en 10 dimensiones, para dar cuenta de la fenomenología en cuatro dimensiones era necesario "compactificar" el espacio, esto es, asumir que seis de las nueve dimensiones espaciales estaban "enrolladas" con radios suficientemente pequeños como para resultar inobservables a las energías exploradas. Así, a bajas energías, la supercuerda de tipo I daba lugar en nuestro espacio-tiempo observable de cuatro dimensiones a una teoría de campos supersimétrica con gravedad (supergravedad N = 4) acoplada a una teoría gauge supersimétrica.

Por otra parte la supercuerda de tipo IIA a bajas energías venía descrita en diez dimensiones por una teoría de campos ya conocida. Esta es una supergravedad extendida que se obtiene a partir de la supergravedad N = 1 en 11 dimensiones compactificando una dimensión espacial. El modelo tiene sin embargo un importante problema, que no contiene fermiones quirales en diez dimensiones. En 1983 Edward Witten demostró que era imposible tener fermiones quirales en cuatro dimensiones a partir de compactificaciones de teorías sin fermiones quirales en dimensiones superiores. Dado que en nuestro mundo de cuatro dimensiones los fermiones son quirales -por ejemplo, los leptones y quarks del modelo estándar- la supercuerda tipo IIA no parecía tener muy buenas perspectivas para describir nuestro mundo.

La supercuerda de tipo IIB, por otra parte, sí contenía fermiones quirales en diez dimensiones. A bajas energías el modelo daba lugar a una nueva teoría de supergravedad extendida. De hecho la supercuerda IIB contiene además de los fermiones quirales un estado bosónico -en la jerga técnica una 4-forma autodual- a la que volveremos en breve.

Anomalías, o los peligros de ser quiral

Hemos visto como los fermiones quirales son un ingrediente indispensable para construir modelos de cuerdas que puedan describir la física de partículas que conocemos. Sin embargo las teorías de campos quirales tienen que satisfacer ciertas condiciones que de no cumplirse convierten a la teoría en inconsistente. En lenguaje técnico se dice que estas teorías deben de estar libres de anomalías.

La noción de invariancia de gauge desempeña un papel central en toda la física moderna. Todo el modelo estándar está basado en este concepto e incluso la gravedad puede entenderse como una teoría de gauge. La manera habitual en la que los físicos teóricos de altas energías hacen su trabajo es formulando teorías clásicas que son invariantes gauge y procediendo entonces a la cuantización de estas. Las partículas aparecen entonces como las excitaciones elementales de los campos cuánticos.

Sin embargo la invariancia gauge en realidad es un truco técnico. Si queremos describir partículas de espín 1 y 2 que interaccionen con la materia de forma que respeten propiedades como invariancia Lorentz y localidad es necesario introducir ciertos estados espurios, esto es, que no representan partículas "reales". De hecho, algunos de dichos estados tienen propiedades muy poco recomendables, tales como dar lugar a probabilidades negativas.

La invariancia gauge de la teoría es la manera astuta de evitar que dichos estados auxiliares contribuyan a la hora de calcular cantidades físicas. Lo que nos dice la invariancia gauge de la teoría es que dos estados que difieran entre sí por la presencia de estados espurios representan en realidad el mismo estado físico. En otras palabras, la invariancia gauge es una redundancia a la hora de etiquetar los estados.

Esta es la razón por la que es crucial preservar invariancia gauge. De otra forma los indeseables estados espurios se convierten en "reales" y hacen de la teoría un completo sinsentido con estados cuya probabilidad de ser producidos es un número negativo. Y en esto radica precisamente el problema potencial de las teorías de gauge con fermiones quirales: en que la invariancia gauge clásica puede romperse como consecuencia de la cuantización. Cuando esto ocurre la invariancia gauge no puede hacer su trabajo de "limpieza" y se dice que la teoría es anómala.  

En un espacio-tiempo de diez dimensiones la gravedad -que recordemos es en cierto sentido también una teoría gauge- también puede ser anómala en presencia de fermiones quirales.

La supercuerda de tipo IIA es una teoría no quiral y por lo tanto no tiene riesgo de presentar anomalías. No es el caso de las supercuerdas I y IIB, que sí pueden ser anómalas. En el caso de la de tipo I las anomalías pueden ser gauge, gravitacionales o mixtas, mientras que la supercuerda tipo IIB -que no contiene bosones gauge- sólo puede presentar anomalías gravitacionales. La viabilidad de la teoría de supercuerdas como "teoría del todo" pasaba por tanto por comprobar que estos modelos estaban libres de anomalías.

La primera revolución

En 1983 Luis Álvarez-Gaumé y Edward Witten estudiaron sistemáticamente la presencia de anomalías gravitacionales en varias dimensiones. Encontraron que -sorprendentemente- la supercuerda de tipo IIB estaba libre de anomalías gravitacionales. El modelo contiene dos tipos de campos fermiónicos que contribuyen a la anomalía gravitacional: dos gravitinos -compañeros supersimétricos del gravitón con espín 3/2- con la misma quiralidad y otros dos campos de espín 1/2 también con la misma quiralidad. Pero la contribución de estos a la anomalía está cancelada por un campo bosónico, la 4-forma autodual de la que ya hemos hablado. A pesar de ser un bosón, este campo tiene algo que decir a la hora de calcular la anomalía ya que la condición de autodualidad es en cierto sentido "quiral".

Hagamos un pequeño inciso para intentar clarificar este punto. La transformación de paridad cumple una función muy importante en física de partículas. Físicamente esta consiste en una reflexión especular con respecto a un (híper)plano. Un fermión dextrógiro se transforma bajo paridad en uno levógiro y viceversa. Si en una teoría física los fermiones dextrógiros y levógiros interaccionan de manera diferente, la teoría no será invariante bajo la transformación de paridad (o, en términos más visuales, no será la misma después de ser reflejada en un espejo). Las anomalías sólo pueden aparecer en teorías que no son invariantes bajo paridad.

En el caso de una forma autodual esta no permanece invariante, sino que se transforma bajo paridad en una forma anti-autodual. Sin necesidad de entrar en explicar el significado matemático de estos objetos, lo importante es que, al no quedar invariante, la presencia de una 4-forma autodual rompe la invariancia de la teoría bajo paridad y por lo tanto contribuye a la anomalía.  

La cancelación de la anomalía gravitacional en la supercuerda tipo IIB es no trivial y se deriva de su particular contenido de estados de masa nula. En el caso de la supercuerda de tipo I, la situación es más complicada porque como hemos indicado las anomalías gravitacionales no son las únicas que cabe esperar.  

En septiembre de 1984 John Schwarz y Michael Green enviaron un artículo a la revista Physics Letters B en el que estudiaban el problema de las anomalías en la supercuerda de tipo I. En principio, este problema puede analizarse usando la teoría efectiva de campos que solamente involucra los estados de masa cero de la supercuerda. La razón es que las anomalías están producidas por estados sin masa y por lo tanto la torre infinita de estados masivos que corresponde a oscilaciones cada vez más energéticas de la cuerda no desempeña ningún papel.

Green y Schwarz encontraron un resultado sorprendente: las anomalías de la teoría de supercuerdas tipo I cancelaban perfectamente solamente si el grupo gauge de la teoría era SO(32).

El origen de esta cancelación es muy profundo. Todas las teorías de cuerdas, y la supercuerda de tipo I no es una excepción, tiene además del gravitón otros estados de masa nula uno de los cuales se conoce como la 2-forma NS-NS o campo B. Al igual que el gravitón, este estado bosónico sin masa corresponde a un estado de vibración de la cuerda cerrada.

Una teoría de campos a bajas energías para el campo B incluye de forma natural un acoplo de este a dos campos gauge. Sin embargo la única manera de cancelar la anomalía gauge es "añadir" a este acoplo una nueva interacción que permita que el campo B se desintegre en cuatro campos gauge. Cuando ambos acoplos están presentes, existe un diagrama de Feynman que cancela la contribución de la anomalía gauge. Diagramáticamente esto se representa de la siguiente forma:

anomaly cancellation

Desde el punto de vista de la teoría de campos a bajas energías este nuevo acoplo a cuatro campos gauge es un tanto artificial, ya que es necesario incluirlo "a mano" y además rompe la invariancia gauge de la teoría. Esto último es algo de esperar si recordamos que el segundo diagrama que mostramos más arriba es "clásico" (es un diagrama sin bucles) mientras y que ha de cancelar el primero que da lugar a una ruptura cuántica de la invariancia gauge (el diagrama contiene un bucle).

Lo interesante es que la artificialidad del acoplo a cuatro campos gauge desaparece cuando miramos el problema desde el punto de vista de la teoría de cuerdas. En este caso el acoplo entre el campo B y los cuatro campos gauge aparece de forma natural y automática. Recordemos que en la supercuerda de tipo I los campos gauge son estados de cuerda abierta, mientras que el campo B es un estado de cuerda cerrada. El diagrama que Green y Schwarz descubrieron que era crucial para la cancelación de la anomalía gauge en la teoría de campos corresponde en la teoría de cuerdas a una cuerda cerrada que se acopla a dos y cuatro cuerdas abiertas:

campo-B

Lo que está ocurriendo es que la estructura matemática de la supercuerda de tipo I fija los acoplos entre cuerdas abiertas y cerradas exactamente de la forma requerida para preservar la invariancia gauge a nivel cuántico si el grupo gauge es SO(32).

La cuerda heterótica

Esta cancelación no trivial de la anomalía gauge supuso un importante espaldarazo a la teoría de supercuerdas, ya que disipó las dudas sobre su consistencia a nivel cuántico. Green y Schwarz habían concluido que la única supercuerda aún sospechosa de ser anómala -la de tipo I- estaba libre de este problema siempre que su grupo gauge se escogiera adecuadamente.

Sin embargo el mecanismo de cancelación que habían encontrado y que hoy lleva su nombre también funcionaba no solamente para SO(32), sino también para otro grupo gauge, E8×E8. Sin embargo, como hemos dicho más arriba, la supercuerda de tipo I no admite grupos gauge excepcionales, por lo que esta segunda solución no parecía tener realización en la teoría de cuerdas. En su artículo Green y Schwarz mencionaban también esta posibilidad, señalando que no existía ninguna teoría de cuerdas con ese grupo gauge.

No obstante, dada la elegancia del mecanismo de cancelación de Green-Schwarz, parecía difícil creer que no existiese ninguna teoría de cuerdas cuya teoría de baja energía fuese precisamente la teoría libre de anomalías con grupo gauge E8×E8. Y así resultó ser, ya que a finales del mismo año de 1984 David Gross, Jeffrey Harvey, Emil Martinec y Ryan Rohm -conocidos colectivamente como el Princeton String Quartet- formularon un nuevo modelo de supercuerdas en diez dimensiones que permitía implementar de forma natural no sólo SO(32) sino también E8×E8 como grupo gauge.

Este modelo se conoce con el nombre de cuerda heterótica, del griego "ἕτερος" que significa diferente. La razón de este nombre radica en que el modelo se construía mediante la combinación de dos modelos de cuerdas cerradas diferentes: uno de ellos era la cuerda bosónica -o modelo de Virasoro-Shapiro en la nomenclatura de los modelos duales- que tenía que ser formulada en 26 dimensiones. La segunda era la supercuerda tipo IIA definida en diez dimensiones.

En un modelo de cuerdas cerradas, las oscilaciones que se propagan en ambas direcciones a lo largo de la cuerda son independientes, en el sentido de que no se mezclan una con la otra.

cuerdas_cerradas.jpg

Esto no ocurre en las cuerdas abiertas, porque las oscilaciones al llegar al extremo de la cuerda "rebotan" y pasan a propagarse en dirección opuesta. Esto quiere decir que las oscilaciones moviéndose en ambas direcciones necesariamente se mezclan.

cuerdas_abiertas

El hecho de que los modos propagándose en ambas direcciones -llamémoslas derecha e izquierda por convención- de una cuerda cerrada no interaccionen implica que es posible considerar que ambas oscilaciones pertenecen a teorías de cuerdas diferentes. Este mecanismo de "heterosis" permitió a Gross, Harvey, Martinec y Rohm construir una teoría en la que los modos propagándose hacia la derecha correspondían a los de una cuerda bosónica, mientras que los que se movían hacia la izquierda eran los de una supercuerda de tipo IIA.

Pero a simple vista hay algo que no cuadra: si la cuerda bosónica se propaga en 26 dimensiones y la supercuerda tipo IIA lo hace en diez, ¿cómo es posible combinarlos para construir un solo modelo de supercuerdas? La solución es que antes de combinarlos, es necesario "compactificar" parcialmente la cuerda bosónica en un espacio interno de 16 dimensiones. De hecho, la estructura de este espacio interno determinará el grupo gauge de la teoría resultante; recordemos que la supercuerda de tipo IIA no tiene grupo gauge. Pues bien, sorprendentemente de todas las posibles "compactificaciones" sólo existen dos que producen una teoría bien definida. Y estas son precisamente las que dan lugar una teoría gauge en diez dimensiones con grupos gauge SO(32) y E8×E8 respectivamente. En el segundo caso teníamos una realización en teoría de cuerdas de la teoría de campos libre de anomalías que habían encontrado Green y Schwarz.

La supercuerda heterótica es una teoría definida en diez dimensiones que contiene solamente cuerdas cerradas pero cuya teoría de baja energía es del mismo tipo que la de la supercuerda de tipo I. Desde el momento de su formulación y durante la siguiente década, la supercuerda heterótica -y particularmente el modelo E8×E8- prácticamente dominó la fenomenología de supercuerdas, desplazando a los modelos de cuerdas abiertas.

Esta situación cambió radicalmente en la segunda mitad de la década de 1990 con la llamada "segunda revolución de las supercuerdas". Uno de sus más importante resultados fue que las cinco teorías de supercuerdas conocidas en diez dimensiones -tipos I, IIA, IIB y heteróticas SO(32) y E8×E8- podían obtenerse a partir de la llamada teoría M, definida en 11 dimensiones y cuyo límite de baja energía era la supergravedad maximal N = 1 en once dimensiones

M-theory

Así, compactificando la teoría M se obtenían las diferentes teorías de supercuerdas. En el caso de la teoría de tipo I era necesario además la presencia de unos nuevos objetos llamados D-branas e introducidos por Joseph Polchinski en 1995. Son precisamente las D-branas la causa de que las cuerda abiertas volvieran a ocupar -tras una década de ostracismo- un papel central en la fenomenología de supercuerdas. Pero esto ya es otra historia que quizá tratemos en otra entrada del blog...