¿Cuánto corre cada animal? ¡Las matemáticas lo predicen!

30/07/2017 0 comentarios
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Estamos ya a punto de irnos de vacaciones, por lo menos yo, y con estos calores quería traer un tema sencillo pero que aun así sea interesante en el campo de los sistemas complejos. Y finalmente me he tropezado con algo como lo que yo buscaba, aunque, sorprendentemente, tiene que ver con algo muy complejo, ya que no se me ocurren muchos sistemas más complejos que el ecosistema global de la Tierra. En él interaccionan una gran cantidad de especies de muy distinta manera: comiéndose unos a otros, ayudándose en una interacción mutualista, compitiendo por el mismo nicho... A pesar de ello, en este post vamos a ver que las matemáticas pueden predecir, de manera muy sencilla, propiedades generales de los animales con gran precisión. Además de resolver de esta manera una cuestión sobre la que los investigadores llevaban tiempo trabajando, las leyes que encontraremos tienen utilidad en otros contextos.

ANTILOPE-CORRIENDO.jpgMuchos sistemas complejos exhiben una propiedad llamada "escalado" (en inglés, scaling). Un sistema tiene dicha propiedad cuando alguna de sus propiedades cambia de manera sencilla al cambiar alguna de las variables que lo controla. Este concepto ha tenido gran importancia en el estudio de las transiciones de fase en física. Así, por ejemplo, en un material ferromagnético, cuando nos acercamos a la temperatura crítica en la que pierde su imanación, su campo magnético disminuye como una ley de potencias de la distancia a dicha temperatura crítica, es decir, M = k(T - Tc)a. Este hecho es muy importante, y ha llevado al concepto de universalidad, que nos dice que las transiciones de fase muestran leyes de este tipo donde se encuentran solo unos pocos valores para el exponente a, y esos valores permiten clasificar las distintas transiciones en clases de universalidad que sólo dependen de unas pocas características de los sistemas. 

He empezado este post de una manera un tanto sesuda, y lo peor es que lo he hecho con un tema que me daría para escribir posts años y años, cuando en realidad lo que quiero es contar algo mucho más sencillo, pero que eso sí, conecta con esta idea profunda que acabo de resumir telegráficamente. Se trata del trabajo "A general scaling law reveals why the largest animals are not the fastest" ("Una ley de escala general revela por qué los animales más grandes no son los más rápidos"), recientemente publicado en Nature Ecology & Evolution. Lo que me ha llamado la atención de este trabajo es, sobre todo, su simplicidad y la gran precisión de sus predicciones, que nos proporcionan un cuadro claro para todos los animales. La pregunta que se hacen los autores es: ¿cómo depende la velocidad de un animal de su tamaño? Como vamos a ver, el resultado es sorprendente y nada trivial y, pese a ello, se puede derivar de manera muy sencilla. El punto de partida es caracterizar el tamaño por la masa del animal y asumir que la velocidad máxima que puede alcanzar sigue una ley de potencias con respecto al tamaño:  

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Esto es, cuatdo mayor es un animal, más será su velocidad máxima. Esta hipótesis de partida equivale a decir, básicamente, que los animales más grandes son capaces de correr más, seguramente porque tienen más fuerza. Veamos adónde vamos a partir de aquí: el siguiente paso es ver cómo aceleran los animales. Si parten del reposo, acelerarán y lo harán hasta alcanzar una cierta velocidad máxima (nunca se ha visto a ningún animal que no tenga límite de velocidad; el hombre alcanza algo así como 36 km/h, el guepardo 110 km/h, pero todos tenemos un límite). Esa aceleración hasta la velocidad máxima viene descrita por una fórmula como esta: 

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donde el parámetro clave es k, que nos dice cuán rápido acelera cada animal. A mayor k, más acelera, y menos tarda en acercarse mucho a la velocidad máxima teórica. ¿Y cuánto acelera cada animal? La segunda ley de Newton nos dice que la aceleración es simplemente la fuerza aplicada dividida por la masa, así que tendremos que es aproximadamente F/M. ¿Y cuánta fuerza puede hacer un animal? Aquí los autores de la investigación toman los datos empíricos, que nos dicen que la fuerza que puede hacer un animal es también una ley de potencias respecto a la masa, F ~ MdCombinando ambas fórmulas llegamos a que la aceleración depende de la masa con otra ley de potencias:

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Los datos nos dicen que típicamente el exponente d está entre 0,75 y 0,94. Eso hace que la relación anterior tenga un exponente negativo, que dice que un animal acelera menos cuanto mayor es, lo que tiene bastante sentido.

Nos queda solo un paso para llegar al resultado final, así que le pido, amigo lector, que tenga paciencia conmigo. Ese paso es darse cuenta de que un animal no puede acelerar indefinidamente; en algún momento se le acabarán las fuerzas, porque habrá gastado todas sus reservas. Esto es, cómo no, otra ley de potencias; lo que va a poder aguantar corriendo un animal es función de su masa muscular, que a su vez es función de su masa, es decir

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y disponemos también de datos empíricos de los valores del exponente g, que suelen estar entre 0,76 y 1,27. Así pues, un animal con una masa dada logrará correr un tiempo indicado por la fórmula que acabo de poner, y eso nos dirá cuál será la velocidad máxima que va a alcanzar, sustituyendo en la expresión de la velocidad máxima el tiempo máximo. Eso nos da finalmente

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expresión algo complicada, donde la masa entra en dos sitios, pero que realmente no me preocupa mucho. Lo importante es que esta fórmula predice que la velocidad máxima no la van a alcanzar los animales más grandes, sino algunos de tamaño intermedio.

En realidad, amigo lector, le podía haber contado todo esto de palabra, pero he querido poner las fórmulas porque a mucha gente le gustará verlas, y les dará idea de la sencillez de estas cuentas. Los autores lo presentan resumido en cuatro gráficos que nos facilitarán entender lo que ha pasado:

resumen grafico.jpg 

En la curva a vemos el proceso de aceleración en función del tiempo. Los animales más grandes aceleran menos, como hemos dicho, y tardan más en alcanzar la velocidad máxima, que esa sí, crece con el tamaño. La gráfica b no es más que la relación entre el tamaño y el tiempo que pueden acelerar (y tiene la forma típica de una ley de potencias, que aparece como una recta en ese tipo de gráfico doble-logarítimico). Ese dato nos lleva a la gráfica c, donde al poner para cada animal su tiempo máximo obtenemos la velocidad que alcanza, marcada por los puntos en cada línea. Finalmente, representamos esa velocidad que se alcanza en función de la masa de cada animal, y llegamos a d; los animales más ligeros tienen una velocidad que también sigue una ley de potencias (parte izquierda de la curva), pero llega un tamaño a partir del cual la velocidad máxima decrece con el tamaño. 

Y ahora llega el momento de la verdad: estas cuentecillas de la vieja, ¿nos dicen algo de la velocidad máxima de los animales? Pues, la verdad, yo creo que la curva que viene a continuación deja poco lugar a dudas:

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Como vemos, la curva es básicamente igual que la predicha (técnicamente, se puede decir que el ajuste de la curva a los datos experimentales explica un 90 % de la variación de los mismos) y, además, ¡no depende del medio de locomoción! Funciona perfectamente tanto para nadadores, como para corredores, como para voladores. ¿No le parece increíble, amigo lector? A mí, la verdad es que sí.

Los investigadores solemos usar el criterio de la sencillez para valorar las teorías, y siempre nos gustan cuanto más sencillas mejor (o dicho finamente, usamos la navaja de Occam). Aquí tenemos un caso paradigmático, pero además esta sencilla idea no es que funcione igual que las que se han venido proponiendo: ¡es que encima funciona mejor! No voy a entrar ahora aquí en las alternativas que se han manejado (el lector interesado puede encontrar los detalles en el artículo citado), pero ninguna lo ha hecho también como esta. Lo interesante (por si tener una predicción tan buena no lo era suficientemente) es que ahora tenemos una expresión que podemos aplicar, por ejemplo, a animales extintos: por ejemplo, el Tyrannosaurus rex debía correr mucho menos que el Velociraptor. También se puede utilizar desde el punto de vista evolutivo, puesto que si un animal tiene una velocidad que discrepa mucho de la predicha, puede ser porque las presiones evolutivas le hayan dotado de mecanismos más allá de los que contempla la teoría sencilla que acabamos de ver.

Creo, amigo lector, que estará de acuerdo conmigo en que las matemáticas, incluso sin muchas complicaciones, siguen siendo sorprendentemente buenas para describir el mundo (ya lo decía Wigner) y que este es un ejemplo perfecto de ello. Yo, por mi parte, lo voy a usar cada vez que alguien se ría de los modelitos super-simplificados que se hacen en matemáticas y en física, como el famoso de la vaca esférica; sí sí, mucha risa, pero mire qué bien van las cuentas cuando la intuición de cómo simplificar es buena.