El medallista Fields Simon Donaldson investido Doctor Honoris Causa en Madrid

13/02/2017 1 comentario
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El pasado 20 de enero, la Universidad Complutense de Madrid se vistió de gala para investir Doctor Honoris Causa al Prof. Simon Donaldson, una de las grandes mentes de las Matemáticas contemporáneas. A la tierna edad de 29 años recibió la Medalla Fields en el Congreso Mundial de Matemáticos de Berkeley de 1986 por sus sorprendentes resultados sobre la clasificación de 4 variedades diferenciables, esencial en nuestra comprensión del espacio-tiempo.

El pasado 20 de enero, tuvo lugar en el aula Miguel de Guzmán de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense el solemne acto de investidura del profesor Simon Kirwan Donaldson, como nuevo Doctor Honoris Causa. Medalla Fields en el año 1986, Donaldson es catedrático en Pure Mathematics desde 1998 en el Imperial College de Londres, y desde 2014 es miembro permanente del Simons Center for Geometry and Physics situado en la Universidad de Stony Brook de Nueva York.

El emotivo acto fue presidido por el rector (y también matemático) Carlos Andradas, y contó con la asistencia de diversas autoridades del mundo académico. Actuó como padrino el Profesor Vicente Muñoz, catedrático de Geometría y Topología en la Complutense y antiguo alumno doctoral de Donaldson, con el que ha mantenido un continuo contacto. Al acto concurrieron alrededor de 150 personas, entre los que se encontraban el presidente de la Real Sociedad Matemática Española, el director del Instituto de Ciencias Matemáticas, y el presidente de la Real Academia de las Ciencias. Un coro amenizó la jornada.

En su laudatio Vicente Muñoz recordó sus tres años de doctorado (1993-1996) en la Universidad de Oxford y la gran influencia que Donaldson ha tenido en sus matemáticas y en su vida. Entonces destacó la impresionante trayectoria del matemático inglés, tanto por sus logros matemáticos (reflejados en los numerosos galardones que ha recibido) como por su lado humano, como demuestra su gran tarea de formación de jóvenes. De hecho, cuando Muñoz entró en Oxford como estudiante de doctorado, Donaldson supervisaba a diecisiete estudiantes de doctorado y con todos ellos tenía una reunión semanal de media hora.

El Prof. Donaldson procedió al discurso de investidura con unas primeras palabras en español que fueron muy celebradas. Consideró un privilegio sentirse vinculado a la larga lista de estudiantes y profesores que han pasado por la Complutense. De todos ellos quiso destacar a los DHC Eduardo Torroja y Caballé, Albert Einstein, Vladimir Arnold y Jean-Pierre Serre, de quienes dijo que "son gigantes de una generación anterior a la mía, a cuyos pies, metafóricamente, yo he aprendido", explicando que ve en las nociones de Geometría, Algebra y Espacio un nexo entre los trabajos de estos cuatro grandes científicos. Para el matemático, estas nociones son diferentes maneras de mirar al mundo, tanto al que podemos experimentar como a otros más abstractos, y por eso "la relación entre esos tres conceptos se ha estudiado durante milenios y es el marco para algunos de los más grandes logros de las humanidades". Hoy en día estos temas siguen estudiándose y "subyacen en muchos desarrollos de las matemáticas contemporáneas, desde la teoría de cuerdas de la física hasta aplicaciones notables en el campo de la geometría algebraica, pasando por cuestiones puramente aritméticas como el teorema de Fermat".

En su alocución final, el Rector Andradas recordó que esta es la "primera investidura de un doctor honoris causa que se ha hecho en la propia Facultad de Matemáticas”, explicando que se decidió hacer así "para que los estudiantes puedan disfrutar en primera persona del reconocimiento de la UCM a una de las figuras más relevantes de la matemática actual", especialmente este año que se celebran los 25 años de la Facultad

                   Simon Donaldson  y el Rector Carlos Andradas

Trayectoria


Simon Donaldson realizó su doctorado en la Universidad de Oxford bajo la supervisión de Nigel Hitchin y posteriormente también de Sir Michael Atiyah. Siendo aún un alumno de doctorado de veinticinco años, usando la teoría gauge, clasificó las 4-variedades diferenciables, mostrando que es muy diferente de la clasificación de 4-variedades topológicas alcanzado por M. Freedman. Además, combinando sus resultados con los de Freedman, Donaldson produjo estructuras diferenciables exóticas sobre el espacio euclídeo tetradimensional, un resultado que sólo ocurre en esta dimensión. La clasificación de 4-variedades diferenciables le valió en 1986 la Medalla Fields, el mayor honor alcanzable por un joven matemático.

Tras obtener su doctorado por la Universidad de Oxford en 1983, fue Junior Research Fellow en All Souls College de Oxford; un año más tarde sería miembro del prestigioso Institute for Advanced Study de Princeton, EE.UU. Al regresar a Inglaterra, ocupó la cátedra “Wallis Professor of Mathematics” en la Universidad de Oxford desde 1985 hasta 1997. En el curso 1997-98, fue Visiting Professor en la Universidad de Stanford,EE.UU., regresando al año siguiente a Inglaterra para ocupar una cátedra en el Imperial College de Londres. Desde 2014, es también miembro permanente del Simons Center for Geometry and Physics en la Universidad de Stony Brook en Nueva York.

Esta trayectoria excepcional ha sido reconocida con numerosos premios y distinciones. Aparte de la Medalla Fields en 1986, ha recibido el Premio Crafoord de la Real Academia Sueca de Ciencias, el Premio Shaw en Matemáticas, o el Breakthrough Prize in Mathematics, dotado con tres millones de dólares, en 2014.

La escuela de Donaldson


En el distinguido árbol genealógico del Profesor Donaldson destacan matemáticos tan destacados como Atiyah, Hitchin, Hodge o Cayley y, de acuerdo con Mathscinet, tiene casi 100 artículos con más de 3500 citas. Además, ha supervisado a 44 estudiantes de doctorado, entre los que destacan, por citar a unos pocos, D. Joyce, A. King, I. Smith, G. Szekelyhidi, M. Thaddeus, R. Thomas o P. Seidel.

La conexión española

La huella del Prof. Simon Donaldson en la geometría en España es profunda al haber supervisado a dos estudiantes de doctorado españoles: Oscar García Prada, y Vicente Muñoz. Además, numerosos grupos de investigación trabajan en las áreas y usan las técnicas por él introducidas; en el año 2000, el Prof. Ignacio Sols (UCM) fundó el grupo “Geometría Simpléctica con Técnicas Algebraicas”, más conocido por GEST, que ha realizado congresos anuales durante 15 años.

          Vicente Muñoz, Simon Donaldson  y Antonio Díaz-Cano,decano de la Facultad de Matemáticas de la UCM

Además, Simon Donaldson es co-director (junto a Oscar García-Prada y Nigel Hitchin) del Laboratorio Donaldson-Hitchin en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y desde el año 2012 es editor de la Revista Matemática Complutense.

Las Matemáticas de Simon Donaldson


Uno de los grandes problemas de las matemáticas del siglo XX fue la clasificación de espacios dotados con una determinada estructura, siendo especialmente interesantes las variedades topológicas; aquellos "espacios de goma" que podemos aplastar, encoger o estirar sin que pierdan su naturaleza. Por su papel fundamental en la física y matemáticas del siglo XX, nosotros nos vamos a centrar en el caso de dimensión 4 que llamaremos 4-variedades topológicas (aunque un matemático las llamaría "4-variedades cerradas orientadas y simplemente conexas", casi nada). Este escenario ha desafiado a los matemáticos durante décadas.

En los problema de clasificación, una estrategia típica es encontrar un invariante interesante (que puede ser un número, una matriz o un objeto matemático más complicado como un grupo) que nos permita distinguir unos espacios de otros. J. H. C. Whitehead demostró en 1949 que estas variedades están determinadas por una matriz de enteros, simétrica y de determinante más o menos 1, llamada la forma de intersección. En 1982, Michael Friedman demostró que todas las matrices de esta clase podían ocurrir para 4-variedades topológicas. Este resultado espectacular le valió la medalla Fields en 1986.

Ahora, una pregunta natural es si podemos clasificar aquellas 4-variedades dotadas de una estructura más rígida que nos permita hablar de distancias, derivabilidad o curvatura, es decir, hacer geometría. Estos espacios se llaman 4-variedades diferenciables y son la herencia del genial matemático Bernhard Riemann. En 1982, Simon Donaldson probó que entre todas las formas de intersección definidas positivas, sólo aquellas equivalentes a la matriz unidad podían aparecer como invariantes de una 4-variedad diferenciable. El resultado en sí es sorprendente pero quizá lo sea más el método que usó Donaldson para resolverlo, muy inesperado. 

La Historia de la Ciencia está llena de ejemplos de nociones matemáticas que han sido fundamentales para formalizar y entender teorías físicas (“la irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales” según Eugene Wigner). Sin embargo, la dirección contraria era extraña en 1982. Pero donde otros veían una sopa de índices y subíndices, Donaldson vio una oportunidad.

Las ecuaciones de Yang-Mills (propuestas por Chen-Ning Yang y Robert L. Mills en 1954) generalizan las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, permitiéndonos estudiar las interacciones fundamentales entre partículas elementales. Son tan importantes en la Física Matemática que a ellas está dedicado uno de los 7 Problemas del Milenio de la Fundación Clay. Usando el lenguaje geométrico de los fibrados vectoriales y sus conexiones (que en el lado de la física corresponden a las llamadas teorías gauge), estas ecuaciones no lineales se pueden ver como las ecuaciones de Euler-Lagrange de un funcional (que involucra la norma de la curvatura, lo que les da su carácter no lineal, y con ello una notable dificultad añadida). Entonces se abre así la tarea de estudiar y clasificar las soluciones y darles utilidad física o matemática. De hecho, nos vamos a centrar en un tipo particular de soluciones llamadas instantones que corresponden a los mínimos absolutos del funcional de Yang-Mills. Los instantones van a ser la palabra mágica del relato.

En vez de seguir un enfoque más algebro-geométrico (que hubiera sido lo natural en Oxford en una época en la que al artículo “Construction of instantons” escrito por Atiyah, Drinfeld, Hitchin y Manin todavía no se le había secado la tinta), Donaldson vio que la resolución del problema de clasificación de 4-variedades diferenciables pasaba por usar como herramienta geométrica el complicadísimo espacio de instantones (de manera más precisa, el espacio de móduli de instantones). Para ello, como nos recuerda Atiyah, Donaldson necesitaba tener un entendimiento profundo del análisis de las ecuaciones de Yang-Mills, cuyas bases analíticas habían sido establecidas por C. H. Taubes y K. Uhlenbeck, pero que él tuvo que perfeccionar en lo que sin duda constituye uno de los grandes hitos de las matemáticas del siglo XX.

A partir de entonces, Donaldson ha seguido haciendo contribuciones revolucionarias como la caracterización de la estabilidad de fibrados vectoriales holomorfos como aquellos que admiten una métrica de Hermite-Einstein; la existencia de métricas Kähler extremales en variedades complejas proyectivas; el estudio de la topología de variedades simplécticas mediante la construcción de fibraciones de Lefschetz; la propuesta de un programa dirigido a estudiar teorías gauge en variedades de dimensiones 6,7 y 8 con estructuras geométricas especiales (Geometría G2 y Spin(7)); y -motivado por la teoría de cuerdas- la introducción de nuevos invariantes como los invariantes de Donaldson-Thomas, con extensísimas ramificaciones.

Los autores quieren agradecer la ayuda del profesor Vicente Muñoz durante la confección de este artículo.

Material audiovisual

https://www.youtube.com/watch?v=xoC53Smg-WI

Para saber más...

M. Atiyah, On the Work of Simon Donaldson 

S.K. Donaldson, P.B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds

S.K. Donaldson, Two-forms on four-manifolds and elliptic equations

O. García-Prada Existencia de Yang-Mills y del salto de masa

A. Jaffe, E. Witten Quantum Yang-Mills theory

D. Kotschick,  Gauge theory is dead!- Long life Gauge theory!