Perfectoid Man

08/12/2016 7 comentarios
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En esta entrada trazamos un perfil de la última estrella de las matemáticas, Peter Scholze, quien es uno de los favoritos para ganar una medalla Fields en el próximo ICM que se celebrará en 2018 en Río de Janeiro.

A los dieciséis años, Peter Scholze (Dresde, 1987) sólo quería entender la demostración del teorema de Fermat alumbrada una década antes por Andrew Wiles (y Richard Taylor). Por supuesto no entendió nada pero quizás entonces ya aprendiera que de las grandes demostraciones, como de las guerras, no se regresa del todo. También empezó a probar su propio método de aprendizaje; como declaró a Quanta Magazine, nunca aprendió las cosas básicas como álgebra lineal sino que sólo las ha asimilado cuando las ha necesitado para entender otras cosas. Otra de sus máximas es "No hay que entender siempre todo en matemáticas". Pero su trayectoria parece desmentirle.

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A Scholze le gusta decir que no hay que entender siempre todo en matemáticas; pero su trayectoria parece desmentirle.

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Estudió matemáticas en la Universidad de Bonn donde siguió ampliando sus conocimientos en teoría de números y geometría, con la esperanza de familiarizarse con las esquivas formas modulares que vertebran la demostración de Wiles como nos explicó Adolfo Quirós aquí. En las clases, jamás tomaba apuntes porque no tenía miedo de que se le olvidaran; era capaz de entender las lecciones a tiempo real y de manera profunda, como si las escribiera a bolígrafo en su subconsciente. Por eso fue capaz de finalizar su Licenciatura en Matemáticas en tres semestres. En la Universidad de Bonn también realizó su Máster en la que ya dio muestras de un raro talento para las Matemáticas, además de un gusto casi kamikaze por las grandes cuestiones.

 

Peter Scholze, siempre sonriente 

En su trabajo de máster logró dar una nueva prueba de la Correspondencia de Langlands Local para GLn(Qp) (esto es, las matrices n x n invertibles con coeficientes en el cuerpo p-ádico). Como ya hemos explicado en este blog, el Programa de Langlands es un conjunto de correspondencias que prometen una gran unificación de la teoría de números, las curvas sobre cuerpos finitos, las superficies de Riemann y la teoría cuántica de campos. Además, el último teorema de Fermat es un corolario casi inmediato de alguna de estas correspondencias. Como le contó a Ágata Timón en El País, "una vez que entendí el problema, me sorprendí de lo fácil que realmente era". Así consiguió rehacer el libro clásico de Harris y Taylor (el mismo Taylor que el del último Teorema de Fermat) en tan sólo 37 páginas. Estaba naciendo una estrella.

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En geometría algebraica existe una profunda dicotomía entre los espacios-buenos y los espacios-sin-dios-ni-ley

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Bajo la dirección de M. Rapoport, en 2011 defendió su tesis doctoral titulada Perfectoid spaces. En geometría algebraica existe una profunda dicotomía entre los espacios geométricos sobre cuerpos con un número finito de elementos (donde impera la aritmética modular) y los espacios clásicos sobre cuerpos de característica cero (como los números reales o los complejos). Mientras estos últimos -los espacios-buenos- nos son familiares y pueblan nuestra intuición (pensemos en rectas, esferas o conos), los primeros tienen una naturaleza discreta pues parametrizan soluciones de ecuaciones que aparecen de manera natural en problemas aritméticos (por eso para cada número primo p tenemos uno de estos espacios). Incluso Grothendieck, con su poética habilidad para nombrar objetos matemáticos, los llamaba espacio-sin-dios-ni-ley aunque, precisamente él fue el matemático que consiguió domarlos y desarrollar la teoría de esquemas que les curó su condición patológica.

Alexander Grothendieck explicando su teoría de esquemas en el IHES de París

Pero aunque nuestra intuición haya sido moldeada por los espacios-buenos, es más fácil probar teoremas sobre los espacio-sin-dios-ni-ley, gracias al endomorfismo de Frobenius (a cada elemento le asociamos su potencia p-ésima). Por eso, muchísimos teoremas han sido probados para los espacio-sin-dios-ni-ley pero no se sabe cómo hacerlo en los -presuntos- espacios buenos.

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Muchísimos teoremas han sido probados para los espacio-sin-dios-ni-ley pero no se sabe cómo hacerlo en los -presuntos- espacios buenos

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Aunque los espacios perfectoides tienen aplicaciones en las variedades de Shimura o en la teoría de Hodge p-ádica, el gran objetivo de Scholze era probar la weight monodromy conjecture (que predice que la restricción de un determinado operador nilpotente dado por el logaritmo de la acción del subgrupo de inercia l-ádico es un isomorfismo) propuesta por Deligne treinta años antes. Esta conjetura fue probada para los espacio-sin-dios-ni-ley pero antes de la tesis de Scholze parecía inalcanzable para los espacios-buenos. Sin embargo, él definió una operación (llamada tilting) que nos permite pasar la información de los espacio-sin-dios-ni-ley a los espacios-buenos (¡No de manera única!) de forma eficiente. Bajo la hipótesis de que cierto fractal se podía aproximar por espacios-buenos, Scholze fue capaz de probar la conjetura. No sólo era una estrella sino que era de las más brillantes del firmamento.

En Oberwolfach

Desde entonces, los reconocimientos se han ido sucediendo con puntualidad casi militar. A los 24 años se convirtió en el catedrático más joven de Alemania, Premio Peccot (2012), Premio Sastra Ramanujan (2013), Premio de investigación de la Fundación Clay (2014), Premios Cole en Álgebra y Ostrowski (2015), Premios Fermat y Leibniz (2016). Además, fue conferenciante invitado en el pasado ICM celebrado en Seúl.

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Desde lejos tiene la sonrisa de un personaje del Señor de los Anillos y pinta de guitarrista de Crystal Fighters; de cerca lucha por organizar su tiempo para no sucumbir a la presión mediática.

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Ha podido desarrollar toda su investigación en Bonn gracias a la financiación de la Fundación Clay, siendo la última joya de la gran tradición matemática alemana. Desde lejos tiene la sonrisa de un personaje del Señor de los Anillos y pinta de guitarrista de Crystal Fighters; de cerca lucha por organizar su tiempo para estar con su hija y no sucumbir a la presión mediática. Disfruta aprendiendo matemáticas y entendiendo conceptos y estructuras básicas que hacen que las cosas funcionen. Quizás esta sea la clave de su estilo. Ana Caraiani (postdoc en Bonn y colaboradora de Scholze) ha explicado que cuando trabaja con Scholze siente que está haciendo las cosas de la manera adecuada, probando el teorema más general posible, de la mejor manera, dando forma a las construcciones correctas que iluminarán las cosas. Quizás esto se deba a que, a diferencia de muchos matemáticos, el punto de partida de Scholze no es un problema que desea resolver sino un concepto que quiere entender a su modo.

¿Una foto premonitoria?

A sus 28 años, todo el mundo apuesta por que Scholze ganará la medalla Fields en el próximo Congreso Internacional de Matemáticos que se celebrará en Río de Janeiro en 2018. A diferencia del resto de las personas, Scholze no teme que su pasado y los recuerdos le aplasten sino sucumbir a las expectativas ajenas. Le darán el premio si el Comité Fields no le ve como una joven promesa cuyo gran teorema está aún por llegar sino como un matemático que ha desarrollado una nueva perspectiva mientras revolucionaba su área de investigación, permitiéndole demostrar importantes resultados. Porque, como le gustaba decir a Borges, sólo se pierde lo que realmente no se ha tenido.

David Fernández

 

Para saber más...

 

B. Bhatt, What is... a Perfectoid Space? Notices AMS

P. Scholze, Perfectoid Spaces and their Applications, Proceedings ICM 2014

P. Scholze, Perfectoid Spaces: A surveyProceedings of the 2012 conference on Current Developments in Mathematics