¿Cómo se mide la desigualdad? El índice Gini

22/02/2017 1 comentario
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La desigualdad es un concepto fácil de entender de manera intuitiva pero muy difícil de formular matemáticamente. En este post discutiremos el indicador de desigualdad económica más usado, el índice Gini. Analizaremos distintas sociedades "de juguete" para comprender mejor su funcionamiento y discutiremos sus ventajas y desventajas. 

En un anterior post, ¿Es el salario medio una buena medida del bienestar de un país? El salario mediano, discutimos la medida adecuada para medir el bienestar medio de un país. Una de las conclusiones fue que el salario medio puede no ser muy indicativo en sociedades con mucha desigualdad, ya que una minoría rica puede subir mucho esta magnitud sin que esto repercuta en un beneficio para la mayoría de los ciudadanos. Como alternativa propusimos el salario mediano, que se determina imponiendo que la mitad de los ciudadanos cobren menos que este y la otra mitad más. Pero, ¿cómo diferenciamos entre una sociedad muy desigual y otra muy equitativa? ¿Podemos dar más información además del salario mediano? ¿Se puede cuantificar la desigualdad?

Como muchos otros conceptos, como la complejidad o la información, la desigualdad no es fácil de definir matemáticamente. Todos tenemos una idea intuitiva más o menos parecida de lo que significa la desigualdad, pero medirla es mucho más complicado. Primero hay que formular una definición matemática, y hay que comprobar que esta coincide con nuestra intuición. 

Vamos a discutir ahora la medida de desigualdad salarial más utilizada, el índice Gini. Esta es una medida propuesta por el estadistico italiano Corrado Gini. Es una medida muy popular y se puede obtener para distintos países y años en la web del Banco Mundial

En el siguiente gráfico podemos ver cómo ha evolucionado este índice en España entre 2004 y 2012.

 

Índice Gini España

 

Veamos entonces en qué se basa este índice tan popular. El llamado Coeficiente Gini se calcula mediante una simple (o no demasiado complicada) fórmula matemática. Imaginemos que tenemos un grupo de n personas con distintos salarios que denominaremos xi, siendo i un índice que va de 1 a n y que etiqueta a cada persona. El coeficiente Gini (G) se calcula mediante la fórmula. 

 

Coeficiente Gini

 

Básicamente se trata de restar los salarios por pares (en valor absoluto para que siempre cuente en positivo) y dividir entre el salario total de la sociedad. 

Antes de nada veamos un ejemplo para aclararnos. Empecemos por el caso más sencillo de todos, una sociedad formada por dos individuos. Un caso extremo sería aquel en el que uno cobrase todo el salario de la sociedad. Si ese salario fuera X tendríamos el conjunto x1 = X, x2 = 0, que daría el siguiente valor de G.

 

Índice Gini dicotómico

 

Este es en general el valor máximo que puede tomar este coeficiente en una población de dos individuos. En una población más general, con n individuos, si un individuo tiene todos los ingresos y los demás no cobran nada el valor de G será = 1 - 1/n. De la definición es trivial observar que si todo el mundo cobra igual todas las restas se cancelan y obtenemos = 0. Así esta magnitud oscila entre un valor máximo, cuando un individuo recibe todos los ingresos y los demás no reciben nada, y cero cuando todos cobran igual.

Trabajar con una magnitud que depende tan fuertemente del número de individuos es complicado. A fin de cuentas lo desigual que es una sociedad no debe depender de cuantos individuos tenga, así que es mejor un índice cuyo máximo sea siempre el mismo. Por eso es habitual usar una sencilla técnica llamada "normalización" que consiste en dividir el valor de G obtenido por el máximo y multiplicar el resultado por 100. Así sabemos que una sociedad totalmente desigual tendrá siempre índice 100, y una totalmente igualitaria tendrá 0. Este valor normalizado es lo que llamamos Índice Gini.

Cuando son varios los individuos es complicado predecir qué va a ocurrir. Podemos hacernos una idea con un ejemplo como el que usamos en el post anterior. Nuestra "sociedad de juguete" vuelve a estar formada por 6 individuos: Rie, Mario, Jack, Nanuk y Ashanti. 

 

Sociedad


Al principio la sociedad es bastante igualitaria, y los salarios no están demasiado desigualados. 

 Tabla de salarios

 

En este caso el índice Gini es bastante fácil de calcular. Ya normalizado el valor obtenido es =  6,3, muy lejos del máximo que es 100. Es evidente que ya que la sociedad es muy equitativa obtenemos un resultado muy bajo.

Como ya pasó en el anterior post. La sociedad se vuelve más desigual cuando Nanuk comienza con su negocio pesquero, que le proporciona pingües beneficios. Por este motivo empieza a acumular riqueza y su salario aumenta mucho, aumentando también el salario medio de la comunidad. ¿Cómo se refleja esto en el índice Gini? Este también crece como resultado del aumento de la desigualdad, al tener un individuo mucho más rico que los demás. El siguiente gráfico muestra el valor de G en función del salario de Nanuk, mientras que los demás salarios se mantienen como en la tabla anterior. 

 

 Gini-Nanuk

Se aprecia claramente cómo aumenta el valor de G cuando el salario de uno de los individuos se dispara. El crecimiento de G es más rápido al principio y luego crece más lentamente. Esto es un resultado inevitable ya que como los demás individuos cobran un salario mayor que cero, sólo puede llegar al valor máximo de 100 cuando el salario de Nanuk sea infinito. También es un comportamiento deseable, ya que nos permite apreciar mejor las diferencias de desigualdad cuando esta es menor. Al fin y al cabo cuando un individuo es ya rico, si cobra un poco más o menos no supone una diferencia importante para la sociedad.

Finalmente, veamos qué nos dice este índice para las sociedades imaginarias que creamos en el post anterior, y que ilustraban la diferencia entre el salario medio y el salario mediano. Ahora podemos ampliar los gráficos añadiendo el índice Gini. 

El primer caso es una sociedad donde los ingresos se distribuyen de manera gaussiana con un corte en el salario mínimo. En este caso como vimos la media y la mediana tienen valores muy similares y el índice Gini es también muy bajo = 14,1. 

 

Gini Gauss 1

 

El segundo caso era similar, pero incluyendo una élite bastante más rica. En torno a un 1 % de las personas tendrían un salario 10 veces mayor al resto. Este caso es más desigual que el anterior. La media y la mediana difieren y = 37,8 (un valor similar a España).

Gini Gauss 2

 

Por último, la sociedad más desigual que estudiamos tiene un índice = 64,6. 

 

Gini Gauss 3

 

Así comprobamos que el índice Gini realmente describe la desigualdad en las sociedades de prueba que hemos inventado. 

Por estos motivos si combinamos G con la mediana podemos tener una buena idea de lo que cobra la mayoría de la población. La mediana nos indica el salario que en torno al que se distribuye la población de manera equitativa, y G nos dice si los demás salarios se aproximan o no a este. Con dos medidas obtenemos una buena idea de lo que ocurre en una sociedad.  

Por supuesto, intentar reducir algo complejo como la desigualdad a un índice no siempre funciona bien. El índice Gini tiene muchos detractores y problemas. Aun así es el índice más usado y por eso merece la pena que lo conozcamos. Así cuando veamos un mapa del mundo coloreado según el valor de G sabremos de qué estamos hablando

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