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  • 28/09/2015

Matemáticas

Demostrada una antigua conjetura en teoría de números

Terence Tao resuelve el problema de la discrepancia de Erdös

Nature News

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Terence Tao a la edad de 10 años junto a Paul Erdös. [Terence Tao, vía Wikimedia Commons]

Un problema matemático que llevaba resistiéndose 80 años —incluidos varios intentos de resolverlo por ordenador— parece haber caído ante los pies de un único investigador. Terence Tao, matemático de la Universidad de California en Los Ángeles y ganador de la Medalla Fields en 2006, publicó el pasado 17 de septiembre en el repositorio arXiv un artículo en el que asegura haber demostrado una conjetura en teoría de números formulada en la década de 1930 por el célebre matemático húngaro Paul Erdös.

«Terry Tao ha soltado una bomba», escribió en Twitter Derrick Stolee, matemático de la Universidad estatal de Iowa en Ames, el mismo día que el artículo de Tao apareció en línea.

Como suele ocurrir en teoría de números, el llamado «problema de la discrepancia de Erdös» es muy sencillo de enunciar pero endiabladamente difícil de resolver. Erdös, fallecido en 1996, conjeturó que, para cualquier sucesión infinita formada por los números +1 y –1, siempre sería posible encontrar un conjunto finito de términos equidistantes cuya suma superase, en valor absoluto, cualquier cantidad previamente elegida, por grande que esta fuese.

La conjetura es trivialmente cierta para algunos casos concretos. Por ejemplo, al considerar la sucesión formada únicamente por +1, siempre podremos seleccionar un subconjunto de términos equidistantes cuya suma sea tan grande como deseemos. Y, si se trata de una secuencia alternante de +1 y –1, cada segundo término servirá. Sin embargo, Erdös conjeturó que lo mismo debería aplicarse a cualquier sucesión compuesta por +1 y –1.

El trabajo de Tao ha confirmado que Erdös estaba en lo cierto. Su artículo demuestra que, en general, las sumas de términos equidistantes divergen sea cual sea la sucesión de +1 y –1 considerada, si bien no aporta un método para calcular su valor en cada caso concreto. Aunque la demostración de Tao aún no ha sido sometida al proceso de revisión por pares, los expertos no dudan que superará cualquier escrutinio. «Estoy completamente seguro», apunta Gil Kalai, matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén, quien cree además que la revisión llevará poco tiempo.

El oportuno comentario en el blog de Tao

La demostración de Tao llega después de años de intentos para resolver el problema tanto a mano como con ayuda de ordenadores. El asalto más reciente comenzó en diciembre de 2009 y ganó popularidad en 2010, cuando Timothy Gowers, matemático de la Universidad de Cambridge, propuso llevar la conjetura al quinto Polymath Project, un proyecto colaborativo en línea que congrega a matemáticos de todo el mundo para resolver problemas concretos. En aquella ocasión, Tao fue uno de varias docenas de participantes.

Aquel esfuerzo colectivo perdió fuelle en 2012. Sin embargo, sirvió para probar que, a fin de demostrar la conjetura en el caso general, bastaría con demostrarla para una familia concreta de sucesiones: aquellas cuyos términos primos toman los valores +1 o –1 de manera arbitraria, mientras que el resto quedan determinados por su descomposición en factores primos (por ejemplo, el término 15º es igual al producto del 3º y el 5º).

En febrero de 2014, otros investigadores presentaron una prueba computacional para un caso específico: demostraron que siempre será posible encontrar una suma de términos equidistantes cuyo valor absoluto sea mayor que 2. Sin embargo, no consiguieron probar que siempre hay una suma mayor que 3. Ahora, Tao ha demostrado que tales sumas pueden exceder cualquier valor finito con independencia de cuál sea la sucesión.

Desde aquel intento por atacar el problema con técnicas informáticas, nadie había logrado avances significativos. A comienzos de este mes, Tao estaba trabajando en otro problema cuando un comentario en su blog le alertó de una posible relación con la conjetura de Erdös. «En un principio pensé que se trataba de una conexión superficial», comenta Tao por correo electrónico. Pero pronto se percató de que, junto con otros resultados previos, aquella sugerencia podía ayudar a dar con la solución. Dos semanas después, el investigador colgaba su demostración en el repositorio arXiv. Su artículo incluye un agradecimiento al oportuno comentarista, Uwe Stroinski, doctor en matemáticas por la Universidad de Tubinga.

Tao ha enviado el trabajo a la revista de acceso abierto Discrete Analysis, de la que Gowers es editor jefe. Fundada a principios de septiembre, esta publicación someterá los artículos al proceso usual de revisión por pares, pero solo aceptará contribuciones que ya hayan aparecido en el repositorio arXiv, con lo que espera ahorrar grandes costes (la revista no cobrará a los autores ni a los lectores). «La revista de Tim es un experimento prometedor en la publicación de acceso completamente abierto», señala Tao.

Erdös, quien en su día escribió una carta de recomendación para que Tao fuese aceptado en la Universidad de Princeton, solía ofrecer premios en metálico a quien resolviese las cuestiones que planteaba. El monto por solucionar el problema de la discrepancia lo cifró en 500 dólares. Desde su muerte, otros se han comprometido a costear los premios en su nombre. Al ser preguntado sobre si aceptará el dinero en caso de que alguien se lo ofrezca, Tao contesta con una negativa: «No era habitual cobrar los premios que otorgaba Erdös cuando vivía. En su lugar, la gente solía enmarcar el cheque».

La demostración de Tao se encuentra disponible en el repositorio arXiv. Más información en la página web del Polymath Project, el blog de Terry Tao y el blog de Tomothy Gowers.

—Chris Cesare / Nature News

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