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  • Noviembre 2013Nº 446
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Reseña

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Álgebra digital

La fecunda alianza del álgebra de Boole con la teoría de la información de Shannon.

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THE LOGICIAN AND THE ENGINEER. HOW GEORGE BOOLE AND CLAUDE SHANNON CREATED THE INFORMATION AGE
Por Paul J. Nahin. Princeton University Press; Princeton, 2013.

Con frecuencia, tendemos a considerar invenciones aisladas los adelantos técnicos. Pasan inadvertidas las bases matemáticas y científicas. Nahin muestra, recorriendo la historia intelectual de George Boole y Claude Shannon, que la conexión entre teoría y aplicación práctica resultó definitiva para el advenimiento del mundo moderno y preanuncio del futuro, computación cuántica incluida. El álgebra o lógica de Boole se encuentra en el corazón de la circuitería electrónica de los aparatos que utilizamos en la vida diaria. Para que el lector conozca el tema desde dentro, se hilvanan problemas lógicos que el este debe resolver y se traen a colación contribuciones clave de Georg Cantor, Tibor Radó, Marvin Minsky o Alan Turing.

George Boole nació en Lincoln, una ciudad del norte de Inglaterra, el 2 de no-
viembre de 1815. Dedicado al oficio de zapatero, su progenitor era un hombre afable y muy interesado en matemática, así como hábil constructor de instrumentos ópticos, entre ellos un telescopio, que puso en el escaparate de la tienda para uso y disfrute de los paseantes. Ayudado de su hijo, construyó también una cámara obscura. Su padre le enseñó, además, los rudimentos de la matemática, si bien la formación de Boole fue en buena medida autodidacta. A los dieciséis años se convierte en ayudante del maestro de una pequeña escuela de Doncaster. Compaginó este trabajo con el estudio asiduo de la matemática, con tal provecho que, andando el tiempo, podría entender el Calcul des fonctions y la Mécanique analytique, de Lagrange; la Mécanique celeste, de Laplace; los Principia, de Newton, y el Traité de mécanique, de Poisson. Según confesión propia, lo hizo con fuerza de voluntad, leyendo y releyendo hasta entenderlo.

Prosiguió sus estudios de matemática en otros lugares, donde se trasladó en busca de trabajo. Ganó dinero para levantar su propia escuela. Y, en 1838, se atrevió a escribir su primer ensayo: On certain theorems in the calculus of variations. A él le siguió otro de título ambicioso Researches on the theory of analytical transformations, with special application to the reduction of the general equation of the second order. Aparecieron en una revista recién fundada, el Cambridge Mathematical Journal, en la que iría publicando sus trabajos. En 1843 preparó On a general method in analysis, donde emplea álgebra simbólica, ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias. Con álgebra simbólica, Boole comenzó lo que sería la pieza central de su obra matemática: tratar las operaciones (pensemos en la diferenciación) como operadores simbólicos que pudieran manipularse como si fueran números. De ese modo, los operadores quedaban separados de sus argumentos. El trabajo se publicó en las Transactions of the Royal Society of London. Le supuso la Royal Medal al mejor trabajo matemático publicado en esa revista de prestigio entre junio de 1841 y junio de 1844. Desde ese hito, contó con el reconocimiento de la comunidad científica.

Siguió publicando sin solución de continuidad. En 1847 extiende su interés en álgebra simbólica desde lo puramente matemático hasta la lógica, reflejado en Mathematical analysis of logic, que se convertiría en el primer borrador de su obra maestra, Investigation of the laws of thought, que aparecería siete años más tarde (1854). En 1849, a sus 34 años, pese a no poseer títulos académicos, pero con el apabullante respaldo de su obra escrita y la medalla conseguida, fue nombrado catedrático de matemática del Queen's College de Cork. Desde el comienzo, la vida académica en Cork fue una carrera de éxitos. En 1852 la Universidad de Dublín le numera entre sus doctores honorarios. Cinco años después, fue elegido fellow de la Regia Sociedad de Londres y, en 1858, se le concedió el premio Keith. En 1859 difunde A treatise on differential equations; Oxford también le nombra doctor honorario. Al año siguiente publica un nuevo manual, A treatise on the calculus of finite differences. Murió de pulmonía a los cincuenta años no cumplidos.

An investigation of the laws of thought ejercería un impacto decisivo en el destino de la humanidad. La importancia de la obra de Boole no se apreció en su tiempo. Hubo que esperar casi un siglo, hasta 1938, en que hizo acto de presencia el matemático e ingeniero eléctrico Claude Shannon, quien publicó ese año un artículo famoso (basado en su tesis de licenciatura del MIT) sobre cómo aplicar la matemática de Boole en forma de relé eléctrico de conmutación de circuitos. Las ideas de Boole y Shannon, juntas, pavimentaron el camino de la era digital. El álgebra de Boole, o lógica matemática, se transforma, a través de Shannon, en la herramienta analítica rutinaria de los ingenieros que proyectan circuitos electrónicos, sin los cuales no podríamos ya vivir en nuestra sociedad de la información.

Claude Elwood Shannon nació el 30 de abril de 1916 en Petoskehy, Michigan. Desde muy pronto sintió una profunda atracción por desentrañar el funcionamiento de las cosas. Se aficionó a la aeromodelización, construyó barcos con guía de radiocontrol y proyectó un sistema telegráfico que conectaba su casa con la de un amigo a más de medio kilómetro de distancia. Se licenció en matemática y en ingeniería eléctrica. En la universidad conoció la lógica de Boole.

Encontró su primer trabajo en el departamento de ingeniería eléctrica del MIT, como ayudante de Vannevar Bush en su famoso analizador diferencial. Bush fue uno de los cerebros que pusieron la ciencia al servicio de la logística de guerra a principios de los cuarenta. El analizador diferencial electromecánico era en aquel tiempo el computador analógico más avanzado, capaz de resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Un circuito complejo de un centenar de relés controlaba el analizador. Shannon pasó el verano de 1937 en los Laboratorios Bell. Fue por entonces cuando tuvo la feliz idea de maridar el álgebra de Boole con los circuitos eléctricos de conmutación. Y así pergeñó la tesis del máster en el MIT: «A symbolic analysis of relay and switching circuits», que se publicó en 1938 en las Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. Suele repetirse que aquella fue la tesis más importante de cuantas se han escrito en su género. Shannon recibió en 1940 el premio que las sociedades estadounidenses de ingeniería concedían al mejor trabajo sobre ingeniería publicado por jóvenes de menos de 30 años.

Defendida la tesis, Shannon se trasladó del departamento de ingeniería al de matemática en el MIT. Bush quería que el genio matemático mostrado por Shannon se aplicara a la genética. Y así Shannon pasó el verano de 1939 en Cold Spring Harbor, trabajando con Barbara Stoddard Burks. Ese trabajo le sirvió para elaborar su tesis de doctorado, An algebra for theoretical genetics. «Mi teoría —resume— se refiere a lo que sucede cuando tenemos todos los datos genéticos. Podríamos calcular el tipo de población que tendríamos después de un número determinado de generaciones.»

Shannon residió luego un año en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde trabajó con Hermann Weyl. Allí coincidió con John von Neumann y Albert Einstein. Y volvió a los Laboratorios Bell, donde pasó quince años de extraordinaria fecundidad, incluida la redacción de su texto principal, definido por Scientific American como la «carta magna de la edad de la información»: A mathematical theory of communication. Trabajó en defensa antiaérea y en criptografía, entrando en contacto con Alan Turing. Escribió un informe secreto, A mathematical theory of cryptography, desclasificado en 1949.

A mathematical theory of communication sacudió el mundo de la ingeniería. Escrito con claridad y libertad, muy alejado de la acostumbrada complejidad matemática, ahondaba en las nuevas interpretaciones de la entropía como información; ampliaba su rango de aplicación a la psicología, la lingüística, la música, la cartografía y la teoría de juegos. El punto central de esta tesis de 1948 era estudiar los límites teóricos de la transmisión de la información del punto A (fuente) al punto B (receptor) a través de un medio (canal). Se supone que la información es codifica-
da antes de cursar a través del canal. Shannon considera dos tipos de canales: uno continuo y otro discreto. Propio del primer tipo sería transportar una señal continua (la voz humana); específico del segundo sería vehicular la salida de un tablero de ordenador en forma de una corriente digital de bits. Hasta tal punto caló la tesis de Shannon que en 1953 el Instituto de Radioingenieros creó un grupo profesional sobre teoría de la información con su propia revista, la IRE Transactions on Information Theory. El alzhéimer, que acabó con su vida en 2001, le impidió conocer uno de los frutos culminantes de su labor, la creación de la Red.

Para comprender la esencia de lo que Boole realizó sobre lógica algebraica, conviene recurrir al lenguaje de la teoría de conjuntos, el concepto de universo y los operadores que intervienen en dicho universo; las conectivas (así la intersección y la conjunción) y el cálculo de proposiciones con sus tablas de verdad. Por su parte, la circuitería digital actual se construye con una técnica electrónica que los ingenieros de teléfonos de los años treinta y los ingenieros pioneros de proyectos de computadores de los años cuarenta hubieran creído cosa de magia. La primera tecnología digital tomó la forma de relés electromagnéticos en las conmutaciones telefónicas. Vino luego la circuitería digital del tubo de vacío; llegaron después los transistores discretos, más tarde los circuitos integrados de transistores, después los DTL, TTL, ECL, CMOS, I2L. Lo único que persiste es el fundamento matemático, el álgebra booleana. La instalación de los conmutadores en serie o en paralelo nos permite construir circuitos eléctricos lógicos and y circuitos eléctricos lógicos inclusive-or, respectivamente; el uso inteligente de contactos de conmutación nos permite crear la operación lógica not. Hoy, por supuesto, las puertas lógicas son de naturaleza electrónica.

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