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  • Marzo 2017Nº 486
Juegos matemáticos

Teoría de conjuntos

¿Están conectados los números naturales y los infinitos?

Una sorprendente consecuencia aritmética de la existencia de ordinales infinitos.

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En ocasiones parece que los números infinitos viven aislados de lo que ocurre en las matemáticas «concretas», como si nada de lo que sucede en el mundo de los números naturales dependiera de la existencia de números infinitos. Sin embargo, las apariencias engañan. Hay problemas sencillos sobre las propiedades de los números naturales —problemas que pueden explicarse sin mayores dificultades a un estudiante de secundaria— cuya solución depende de lo que ocurra en el mundo de los números infinitos.

En esta columna vamos a examinar uno de ellos. La solución, como veremos, resulta bastante contraintuitiva. Con todo, lo más sorprendente de nuestro problema es que no puede resolverse a partir de los axiomas de Peano, los axiomas considerados canónicos para definir los números naturales y sus propiedades. Para solucionarlo habremos de pedirle ayuda a números infinitos bastante grandes; grandes, al menos, desde la perspectiva de los números naturales.

¿Secuencias finitas o infinitas?
Consideremos un número natural cualquiera; por ejemplo, el 266. A continuación definiremos una secuencia de números naturales, a la que llamaremos σ266, de la siguiente manera. El primer elemento, σ266(1), será el 266. Para obtener el segundo, comenzaremos por escribir 266 como una suma de potencias de 2; después, expresaremos cada uno de los exponentes como suma de potencias de 2, para luego reescribir cada nuevo exponente como suma de potencias de 2, etcétera. En este caso, obtenemos:

Fórmula-juegos-marzo17.jpg

(donde, recordemos, 1 = 20 y 2 = 21). Llamaremos a esta suma «representación canónica en base 2» de 266.

Ahora reemplazaremos cada 2 de la expresión de arriba por un 3:

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