Robert Musil, en su libro “Las tribulaciones del joven Törless” (1906), inspirado en experiencias personales, dedica un capítulo a discutir el concepto de números imaginarios. Dos estudiantes de la academia militar confrontan las dos visiones habituales ante las cosas inabarcables a primera vista, la que toca de pies en el suelo –"si un concepto no tiene sentido no tiene sentido trabajar con él", y la de “¿y por qué no podemos trabajar con un concepto aunque no tenga ningún referente en el mundo real?". El profesor no les ayuda: su argumento es que "se tendrían que contentar con el hecho que tales conceptos matemáticos no son precisamente otra cosa que esto: ideas de naturaleza puramente matemática. (...) Estimado amigo, te tienes que limitar a creer; cuando sepas diez veces más matemáticas que las que sabes ahora, entonces comprenderás; pero mientras tanto: ¡creer!".

¿Cuál es la raíz cuadrada de -1? La respuesta inmediata es que no existe: no hay ningún número que, al multiplicarlo por sí mismo, dé un número negativo. Pero bien, queremos decir que no hay ningún número de entre los números habituales que haga esto, de entre los números que escribimos con guarismos. Si nos inventamos un hipotético valor i de tal manera que i x i = -1, ya está: la raíz cuadrada de -1 se llama i. Entonces, cualquier número imaginario puro es, por definición, el producto de un número real por la unidad imaginaria: 4i, por ejemplo. Y los podemos sumar, restar, multiplicar... Pero con cuidado: si multiplicamos 2i por 3i el resultado es -6...

Los números complejos –también denominados imaginarios– son los que tienen una parte real y otra imaginaria pura. Por ejemplo 2 + 3i es un número complejo. Este género de números los inventó Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano en 1572. El nombre de números imaginarios lo dio, parece, René Descartes, que se oponía a las teorías de Bombelli. Y Euler fue quien denominó i a la unidad imaginaria, doscientos años después, en 1777. Leibniz decía de los números imaginarios que eran "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

En la figura hay una ecuación denominada identidad de Euler, que reúne cinco números esenciales en la matemática: 0, 1, e, i y p. Los matemáticos levitan con esa ecuación, la graban en camisetas, corbatas, se la tatúan... Como los químicos hacen con la tabla periódica. No, no explicaré la ecuación.



Camiseta con la identidad de Euler


Todo el tema de los números imaginarios y complejos es uno de los conceptos sin relación con la percepción habitual, porque no le encontramos referentes en el mundo real. Como la entropía, como la física cuántica, como el potencial químico... Otros conceptos matemáticos también hacen bailar la mente, si pretendes entenderlos. Los números transfinitos, por ejemplo, que son los que van "más allá de infinito". Si infinito ya es infinito, ¿qué sentido tiene infinito al cuadrado? Es igual de infinito (en lenguaje cotidiano) pero "más infinito" en lenguaje matemático. Cantor, el inventor de los números transfinitos, postulaba la existencia de un infinito absoluto, que en cierto modo identificaba con Dios.

¿Te pierdes, no? Es porque pretendes visualizarlo. Pretendes entenderlo, y hay conceptos que no se pueden entender.

¿Existen los números imaginarios? ¿Existe esta i?

¿Qué quiere decir que un número existe? Nos es fácil visualizar algunos números: los números naturales 1, 2, 3, 4 se pueden imaginar sobre una recta. Los otros números enteros -1, -2, -3 los podemos poner al otro lado de un punto arbitrario cero de la recta anterior. Los fraccionarios, junto con los enteros son todos los racionales. Los números racionales exactos como 3/4 = 0,75, y los periódicos como 10/3= 3,3333... , los interpolamos entre dos números enteros: todo eso nos lo podemos imaginar fácilmente. Cuesta más imaginar que entre cada uno de los números racionales posibles –que son infinitos– podemos poner también un número infinito de números irracionales, es decir, números con una cadena infinita de decimales sin que se repita un grupo de cifras indefinidamente, como p o raíz cuadrada de 2. Pero creemos que nos lo podemos llegar a imaginar, porque visualizamos una recta que vamos cortando con cuchillos cada vez más finos. Evidentemente que esta recta –la que los matemáticos denominan la recta real– no tiene nada de real: no existe, y es una pura abstracción matemática, algo que pretende ser similar a la verdadera recta que podemos dibujar con papel y lápiz, que no es infinita por ningún lado, que tiene un grosor, y constituida por una secuencia de partículas de grafito puestas sobre un entramado de fibras de celulosa. La recta real de los matemáticos es el modelo imaginado de una recta obtenida como extrapolación ideal del concepto de recta física.  Todos los números citados existen en el mundo matemático, que tiene una correlación fácil con el mundo de la recta real matemática, que tiene una correlación fácil con las rectas que dibujamos.

¿Hacia dónde vamos, con todo lo anterior? A dos conclusiones que otras veces ya hemos comentado. La primera, no hay que intentar comprender lo que no es comprensible, porque nuestra comprensión descansa en la aprehensión de los sentidos, y estos conceptos no aprehensibles no pueden ser reducidos a experiencia. La segunda, que unos conceptos no se comprendan no implica que no se puedan manipular, operar con ellos, resolver modelos matemáticos con conceptos no comprensibles, y diseñar objetos o procesos reales con conceptos aparentemente tan poco reales. La corriente alterna, por ejemplo.

El agua almacenada en un embalse pasa a través de una turbina. Un alternador que gira con la turbina produce electricidad que llega a casa. Estos son hechos reales. Para diseñar un alternador –que genera corriente alterna– hace falta que hagamos una modelización matemática, modelización que reduce la realidad a modelos más o menos simplificados, y por lo tanto no reales. Estos modelos se resuelven mediante la matemática compleja, que en cierto sentido es también no real. Pero los resultados del cálculo de modelos irreales con matemáticas imaginarias permite diseñar aparatos reales, que realmente traen electricidad a casa.

Si visitas una central eléctrica o una instalación industrial que use electricidad, coexistiendo con los sistemas de medida y control que indican voltios, amperios y vatios –variables muy  cotidianas–, encontrarás algunos aparatos que miden una misteriosa variable matemàtico-física: el coseno de fi. Se llaman cosímetros, cosenofímetros, cofímetros o fasímetros. Nos cuesta de imaginar lo que es este coseno de fi. Pero los técnicos saben que tiene que marcar un valor cercano a la unidad, porque si no se pierde dinero. Una variable muy abstracta tiene una repercusión muy concreta.

Esta es una de las veces en que la matemática de los modelos físicos saca la cabecita en el mundo de las realidades. Pero no explicaré qué es el coseno de fi: primero tendría que entenderlo yo, y hemos quedado en que hay conceptos que no se pueden entender...



Cosímetro o cosenofímetro, o cofímetro, o fasímetro

Claudi Mans Teixidó
Claudi Mans Teixidó

Catedrático emérito de Ingeniería Química por la Universidad de Barcelona. Autor de los libros de divulgación científica: La truita cremada (2005, Ed. Col·legi de Químics de Catalunya, catalán) y Tortilla quemada (2005, Ed. Col·legi de Químics de Catalunya). Els secrets de les etiquetes (2007, Ed. Mina, catalán) y Los secretos de las etiquetas (2007, Ed. Ariel). La vaca esfèrica (2008, Rubes editorial, catalán). Sferificaciones y macarrones (2010, Ed. Ariel), La química de cada dia (2016, Publicacions de la Universitat de Barcelona, catalán) y La Química en la cocina: una inmersión rápida (2018, Tibidabo Ediciones).

Director científico del Comité Español de la Detergencia, Tensioactivos y Afines (CED). Vocal de la junta de la Associació Catalana de Ciències de l'Alimentació (ACCA) y del Colegio-Agrupación de Químicos de Catalunya.

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La naturaleza del ser humano es su artificialidad: la voluntad de adaptar el medio a sus necesidades. De ahí la tecnología y las ciencias aplicadas. Hablaremos de eso, especialmente de nuestra vida cotidiana. Y también de arte científico, de lenguaje científico-cotidiano... Nos lo pasaremos bien.

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