¿Cómo planificar la evacuación de un edificio en llamas o de un tren accidentado? Es una buena cuestión, pero en una emergencia es difícil saber cómo reaccionará la gente. Más vale considerar condiciones menos agobiantes: la salida de un cine o de un estadio, la circulación de personas por un centro comercial, el flujo de pasajeros en una estación o en un aeropuerto. Desde las dimensiones de los corredores hasta el número y tamaño de las puertas, todo debe diseñarse adecuadamente. Para ello se recurre con frecuencia a simulaciones por ordenador: se incluyen los elementos arquitectónicos y se "sueltan" personas virtuales que deambulen por el recinto.

Dirk Helbing, actualmente profesor en la Escuela Politécnica Federal de Zurich, propuso unas reglas empíricas para esos peatones virtuales, con las que se consigue cierto realismo. El modelo resultante se llama Social Force Model (se usa para simular multitudes), y ha adquirido tal popularidad que me animo a explicar aquí lo que me parecía hace poco un tema especializado.

La idea básica consiste en proporcionar una expresión para la fuerza que siente una persona y aplicar la segunda ley de Newton: fuerza = masa x aceleración. Según Helbing, las fuerzas que siente una persona son cuatro.

(1) La fuerza que le impele a dirigirse a su objetivo. El peatón desea ir hacia su objetivo a una velocidad v0.
(2) La fricción. El peatón se mueve en el seno de un "fluido" que es la multitud de personas que le rodea.
(3) La interacción con las personas con las que se topa (no hace falta que se produzca un choque, el peatón tratará de evitar a los demás, de modo que dos peatones demasiado cercanos "se repelen" entre sí).
(4) Hay que añadir una fluctuación aleatoria que da cuenta de tropiezos, dudas, distracciones del ambiente, etcétera.

En particular, las leyes que determinan cada una de estas cuatro fuerzas son las siguientes:

(1) Cada peatón desea adoptar una velocidad v0 que le encamine en cierta dirección. Esta velocidad deseada se puede establecer a priori. Por ejemplo, si se trata de abandonar una habitación a través de una puerta, a paso normal, la velocidad deseada podría representarse así:esquema_v0 
En caso de que un peatón tenga en un instante dado una velocidad vi distinta a v0, intentará corregirla. La aceleración será proporcional a (vi-v0); para que esta diferencia de velocidades dé lugar a una aceleración hay que dividirla por un tiempo τ, que puede ser por ejemplo el tiempo característico que se tarda en dar un paso. En muchos casos se toma v0 = 1.5 m/s y τ = 0.5 segundos.
(2) Para la fricción, existe cierta similitud entre la situación del peatón y la de un sólido que se mueve en el seno de un líquido. La fuerza de rozamiento viscoso en ese caso es γ · vi. Se toma esta expresión, donde el coeficiente γ es un parámetro ajustable del modelo.
(3) Como fuerza de repulsión (que da cuenta de la interacción entre dos peatones), se toma una exponencial decreciente: A · exp {(r – d)2/R2} , donde r es la distancia entre dos peatones y d el diámetro equivalente de una persona. Los parámetros A y R son libres, se pueden ajustar para obtener los resultados más satisfactorios. Una elección habitual es que la fuerza A sea del orden de 2000 N y la distancia R de unos pocos decímetros.
(4) La fuerza aleatoria que se introduce es "ruido". Una buena elección para empezar es tomar una muestra al azar de una distribución gaussiana.

Para simular la dinámica, se integra la ecuación numéricamente. Consiste eso en colocar los peatones virtuales en unas condiciones iniciales dadas, y proceder paso por paso a intervalos de tiempo minúsculos. En cada instante, se calcula la aceleración, se modifica consecuentemene la velocidad (la nueva velocidad será v'=v+a·t), y se desplaza el peatón a velocidad v' durante ese pequeño lapso de tiempo. Una vez se han movido todos los peatones, se repite en bucle el procedimiento tantos ciclos como se necesite.

A pesar de que pueda parecer complicado, con ciertos conocimientos de programación no es muy difícil llevarlo a cabo; se puede ilustrar el resultado con estos ejemplos:

- Gente saliendo por una puerta:

 

- El modelo de Helbing comparado con una de sus muchas variantes:

- Cómo se cruzan dos bandas de peatones:

- Una animación (muy sencilla, y con pocas personas) de una evacuación de un edificio

 

El Social Force Model adolece de algunos graves inconvenientes. El que haya cinco parámetros ajustables, aunque sea con valores razonables, lo hace sospechoso: con tanta libertad se puede lograr casi cualquier cosa. Además, hay que completarlo con reglas adicionales (por poner un caso: ¿qué ocurre cuando dos peatones quieren desplazarse al mismo lugar? Depende de lo amables que sean, se cederán el paso ... o no). Y quizá lo más importante, probablemente no tenga en cuenta algunos factores que son cruciales en situaciones de pánico; por nombrar solo uno: en un grave peligro, la gente tiende a juntarse en vez de alejarse unos de otros. Se han propuesto muchas variantes, pero a costa por lo general de introducir aún más parámetros libres. Con todo, el Social Force Model es un ejemplo simple de cómo simular la dinámica de una multitud en el ordenador.

Termino con algunas referencias de artículos especializados que pueden servir para profundizar más en el tema:

  • D. Helbing I. Farkas & T. Vicsek, "Simulating dynamical features of escape panic", Nature 407 (2017), 487.
  • M. Moussaid, D. Helbing & G. Theraulaz, "How simple rules determine pedestrian behavior and crowd disasters", Proc. Nat. Acad. Sci. 108  (2011), 6884.
  • D. Helbing & P. Molnár, "Social force model for pedestrian dynamics", Phys. Rev. E 51 (1995), 4282.

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Ángel Garcimartín Montero
Ángel Garcimartín Montero

Catedrático de física (especialidad: materia condensada) en la Universidad de Navarra.

Ha llevado a cabo investigaciones (de carácter marcadamente experimental) sobre dinámica no lineal, inestabilidades, caos y sistemas físicos fuera del equilibrio; la fractura de los materiales frágiles; la transición vítrea, y los medios granulares. Actualmente se interesa en los atascos de materia activa (por ejemplo, los seres vivos).

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Sobre este blog

La materia blanda es la que se deforma fácilmente cuando se somete a esfuerzos o fluctuaciones térmicas: líquidos, coloides, materiales granulares, polímeros, espumas, algunos materiales biológicos. Pero en sentido figurado ¿no es también materia blanda la ciencia, la universidad, o incluso la sociedad?

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