El modelo de Ising y los falsos teoremas

18/01/2016 0 comentarios
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Recientemente se cumplieron 90 años de la publicación del artículo en el que Ising resolvía el modelo de magnetismo que le propuso su director de tesis, Lenz. En un post en el blog Nada es Gratis, hablé de este aniversario, pero eso me hizo recordar que las matemáticas de estos modelos unidimensionales han sido muy mal comprendidas y peor enseñadas. De hecho, se enseñan teoremas que son falsos o inexistentes, y como siempre en ciencia, es muy complicado erradicar este tipo de falsas creencias. Hoy traigo aquí el ejemplo relacionado con el modelo de Ising: los teoremas de existencia de transiciones de fase en modelos unidimensionales.

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Estos últimos meses han sido un poco frenéticos, y he tenido "Aquí hay dragones" un poco abandonado. Mis ocupaciones como coordinador de un proyecto europeo que está arrancando (y mis clases, por supuesto), me han impedido escribir nada que pudiera interesar a mis amados lectores. Sin embargo, recientemente escribí en Nada es Gratis sobre los 90 años del modelo de Ising, por que no podía dejar pasar el aniversario, que se cumplía en 2015. Y eso me recordó mis propios padecimientos y sufrimientos sobre transiciones de fase en los primeros años del siglo XXI.

Pongámonos en contexto muy brevemente: Ising estudió un modelo de magnetismo, en el cual esperaba ver algo similar a las observaciones: que hay materiales que por debajo de una cierta temperatura son imanes, y que al calentarlos dejan de serlo. Esto es, en pocas palabras, lo que ocurre en la transición ferromagnética. El modelo consistía en una cadena de "partículas magnéticas", como imanes microscópicos (que habitualmente llamamos "espines", refiriéndonos a la extraña propiedad cuántica ligada al magnetismo), que sólo pueden apuntar hacia arriba o hacia abajo. Estas partículas forman un sistema unidimensional, es decir, están colocadas a intervalos regulares sobre una línea que puede ser una recta infinita o un círculo como el de la figura. La transición debería aparecer cuando, al aplicar las técnicas de la mecánica estadística, se encontrara que por debajo de una cierta temperatura, todos los imanes apuntarían en la misma dirección. Pero los cálculos de Ising no dieron ese resultado: lo que encontró es que los espines sólo se ordenaban a temperatura cero, y a cualquier temperatura positiva no había alineamiento y el modelo no exhibía magnetismo espontáneo. Para que el modelo presente magnetismo espontáneo a temperatura no nula, hay que plantearlo en dos dimensiones espaciales, colocándo los espines en una red cuadrada, por ejemplo, como hizo Onsager en 1944.

maxresdefault.jpgLlegamos así al falso teorema, que es lo que interesa en este post: este problema, la ausencia de transición ferromagnética en el modelo de Ising unidimensional, suele citarse como ejemplo paradigmático de un teorema que prohíbe las transiciones de fase en modelos unidimensionales. Cuando yo estudié mecánica estadística en la segunda mitad de los años ochenta, siempre se citaba: "En modelos unidimensionales con interacciones de corto alcance (es decir, los componentes del sistema no ejercen ninguna influencia unos sobre otros cuando están más lejos que una cierta distancia fija) no puede haber transiciones de fase a temperatura finita", y se adjudicaba el teorema a van Hove, citando un artículo de 1950. Artículo que, como vamos a ver a continuación, prácticamente nadie ha leído, porque ese teorema es mucho menos general de lo que parece, y hay excepciones a la afirmación tal cual la he escrito antes.

Yo me encontré con este asunto en el año 2002, cuando trabajaba con mi entonces estudiante y hoy brillante investigador Ramón y Cajal Saúl Ares en un modelo de crecimiento de materiales. Las simulaciones de Saúl parecían indicar que en la versión unidimensional de nuestro modelo veíamos una transición de fase, pero ¡eso no podía ser! ¿O sí? El caso es que como ni a él ni a mí nos suele gustar el argumento de autoridad sin más, nos pusimos a investigar en profundidad el asunto, hasta que finalmente lo entendimos con ayuda de José A. Cuesta y Raúl Toral. Entre los cuatro entendimos que las simulaciones eran correctas, y que lo que ocurría es que en el límite termodinámico, es decir, si el sistema tuviera un tamaño infinito, no veríamos la transición. Lo que pasa es que el modelo es muy... (póngase aquí la palabra que se quiera para indicar mala intención) y para sistemas muy grandes todavía se ve una temperatura no nula de transición (que nosotros llamamos "aparente"). Tan grandes que podrían ser observables macroscópicamente, lo que plantea preguntas sobre la aplicabilidad del concepto teórico de transición de fase, que necesariamente se estudia en tamaño infinito. Pero esto es otra historia, y en este caso Jose y yo demostramos que efectivamente en tamaño infinito no hay transición, en un artículo titulado "Un teorema sobre ausencia de transiciones de fase en modelos de crecimiento unidimensionales con potenciales periódicos" que de hecho extendía el resultado de van Hove a donde no llegaba.

Sin embargo, Jose y yo nos quedamos con la mosca detrás de la oreja, así que seguimos investigando hasta dar con un "teorema general de ausencia de transiciones de fase unidimensionales con interacciones de corto alcance, y ejemplos físicos de tales transiciones". Es decir, generalizamos el teorema de van Hove a una familia mucho más amplia de modelos, pero a la vez dábamos ejemplos de que cuando no se cumplían las condiciones del teorema, hay modelos que sí tienen transiciones de fase a temperaturas no nulas. Esas condiciones son:

  • Homogeneidad: el modelo ha de estar formado por partículas idénticas, sin la menor diferencia entre ellas. Cuando un modelo es inhomogéneo, la matemática y la física se hacen mucho más difíciles y se sabe muy poco en general.  
  • Ausencia de fuerzas externas: el modelo debe estar libre de cualquier actuación proveniente del exterior. Por ejemplo, en el caso del modelo de Ising unidimensional, si se hace actuar un campo magnético externo el modelo se imana espontáneamente y mantiene su imanación a temperaturas superiores a cero. 
  • Partículas duras: los componentes del modelo han de ser partículas con un tamaño finito (no pueden ser puntuales) y tienen que interaccionar de tal manera que les sea imposible solaparse, deformarse o penetrar una en otra (de ahí el calificativo de "duros"). 

Y claro, es lo que tienen los teoremas: que si falla alguna de sus condiciones, no se cumplen. Y estas condiciones son muy poco conocidas, y de ahí la falsa creencia de que no puede haber transiciones de fase en una dimensión. Lo triste es que en los libros de texto y artículos antiguos ya hay ejemplos, que nosotros recuperamos en nuestro artículo, como el de la desnaturalización del ADN de Kittel. Es un modelo muy sencillo, que propuso en 1969 y llamó "cremallera molecular": las bases del ADN se representan como dientes de una cremallera, y la cremallera sólo se puede abrir desde uno de los lados, estando cerrada en el otro. Este detalle, cuando se va a la descripción matemática del modelo, es el responsable de que no se pueda aplicar el teorema de van Hove (y que para los más curiosos por las matemáticas que hay detrás, diré que tiene que ver con poder aplicar el teorema de Perron Frobenius a la matriz que describe el problema).

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Espero que aunque este post haya sido un tanto árido, haya llegado usted hasta aquí conmigo, amigo lector. No sé si le será útil o no el saber que hay modelos de física estadística que sí tienen auténticas transiciones de fase matemáticas a temperatura finita. Pero sí que espero que vea que el método científico funciona en tanto en cuanto se trabaje con espíritu crítico y no se acepte nada que no esté rigurosamente demostrado. Siempre hay grandes resistencias a corregir las creencias. Como anécdota, le diré que contactamos con la autora de un libro básico de mecánica estadística que tenía, inadvertidamente, un ejemplo de transición de fase unidimensional, y la autora nos contestó que no, porque según ella el modelo era bidimensional (interpretaba la variable que tenía en su red unidimensional como una segunda dimensión, erróneamente). Todo por no aceptar algo que iba contra su prejuicio. Y hay más casos de estos teoremas: con mi amigo Francisco Domínguez-Adame echamos abajo otro muy famoso conocido como teorema de localización de Anderson. Tanto en este caso como en el que he contado antes, tuvimos problemas para publicarlo y cuesta que la gente vaya conociendo y citando estos resultados. Aun así, no podemos dejar de hacerlo. Es lo que como científicos y como matemáticos debemos a la sociedad: hacer bien nuestra ciencia de modo que sea útil a todos. Seguiremos en ello.