Preparándose para las catástrofes: bifurcaciones

05/05/2016 0 comentarios
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Para introducir esta entrada tengo que recurrir a un tópico manido como ninguno: vivimos en un mundo interconectado. A partir de aquí, normalmente se entabla la discusión sobre si esto es bueno o malo, globalización sí o no, etc., discusión muy propia de un grupo de cuñados desatados. Ante semejante perspectiva, sólo queda una solución: las matemáticas. En el post de hoy voy a presentarles un trabajo reciente en el que se discute cómo tratar de una manera genérica el problema de las catástrofes y su propagación global, con aplicación a la famosa primavera árabe. Para ello, las matemáticas disponen de una herramienta clave: la teoría de bifurcaciones. Y con las bifurcaciones ¡no hay cuñado que pueda!

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Las catástrofes son algo con lo que gracias a los estupendísimos medios de comunicación que disfrutamos, estamos continuamente en contacto. De distintos tamaños, en distintos ámbitos, naturales o causadas por el hombre y con mayores o menores consecuencias. Sin embargo, las catástrofes por sí solas son un problema, claro, pero son mucho peores las catástrofes acopladas, que es de lo que quiero hablar hoy. Con catástrofes acopladas me refiero a cambios repentinos que se propagan de un sistema a otro. Esto es lo que pasa, por ejemplo, cuando se sincronizan distintos ciclos económicos, colapsan precios y mercados financieros, se producen extinciones en ecosistemas distribuidos en diferentes zonas espaciales, o se propagan las tensiones sociales entre países (caso de la ya citada primavera árabe).

¿Cómo pueden ayudarnos las matemáticas a entender problemas tan complejos? De esto trata exactamente el trabajo "Coupled catastrophes: sudden shifts cascade and hop among interdependent systems", publicado hace unos meses en Journal of the Royal Society Interface por C. D. Brummitt, G. Barnett y R. M. D’Souza (esta última actual presidenta de la Network Science Society). La idea del trabajo es básicamente la siguiente: consideran un sistemapor ejemplo, la economía global, formado por múltiples subsistemas acoplados; en el ejemplo de la economía, podemos pensar que la de cada país se acopla con las demás a través del comercio. Esos subsistemas van a evolucionar con una dinámica muy habitual, que involucra una bifurcación silla-nodo (no se me asuste, amigo lector, que enseguida le explico), y además cada uno va a influir en los demás, de manera que un cambio brusco en un subsistema puede afectar a otros subsistemas, en particular modificando la aparición de su correspondiente bifurcación...

"Suficiente", dirá usted, y tiene razón, me estoy lanzando y esto requiere una explicación un poco más cuidadosa. Nuestros subsistemas son, cada uno individualmente, sistemas dinámicos: sistemas que evolucionan en el tiempo. La manera en la que evolucionan puede depender, y normalmente lo hace, de uno o varios parámetros. Por poner un ejemplo muy sencillo, el sistema podría ser un punto que se mueve con velocidad constante: la evolución temporal sería entonces algo como x = vt, espacio igual a velocidad por tiempo, y la velocidad sería el parámetro. Muy a menudo, ese parámetro o parámetros son controlados por algo externo. Si en vez de pensar en un punto pienso en un coche, la velocidad la controla el conductor. Como este sistema es muy tonto, cambiar el parámetro no cambia nada cuantitativamente: el coche va más o menos deprisa y ya está (aunque en realidad sí hay un cambio, de estar parado a moverse con cualquier velocidad, pero bueno, dejémonos de pejigueras por un momento). Y eso es porque el sistema es lineal, es decir, reacciona a los cambios en la velocidad proporcionalmente a los mismos. Cuando el sistema no es lineal, la cosa se vuelve mucho más interesante, y aparecen las bifurcaciones.

¿Qué es una bifurcación? Para introducir este concepto, tengo que hablar de estabilidad estructural (entrada de Wikipedia en inglés). Un sistema dinámico es estructuralmente estable si pequeños cambios en los parámetros que lo controlan no cambian su comportamiento cualitativo. Cuando no es así, cuando para un valor del parámetro de control se produce un cambio cualitativo al variarlo ligeramente, se dice que tenemos una bifurcación. Intentemos entenderlo con un ejemplo: consideremos un sistema que solo tenga un punto de reposo o de equilibrio, es decir, un estado tal que cuando se alcanza ya no se abandona. (Piense, por ejemplo, en un péndulo amortiguado: no importa desde qué altura ni con qué fuerza lo suelte, acabará parado en la vertical y ya no se moverá de ahí a no ser que vuelva a actuar sobre él). En un sistema así puede ocurrir que, al modificar el parámetro que lo controle, suponiendo que tenga uno solo, ese estado de equilibrio al que siempre tienda el sistema desaparezca, o bien aparezcan nuevos estados de equilibrio. Tales cambios serían bifurcaciones. 

Como no sé si está quedando muy claro, me pondré algo más matemático y preciso con un sistema dinámico concreto y ultra-super-hiper-famoso: la ecuación logística, paradigma del caos donde los haya (hablé de esto aquí). Esta ecuación, cuyo aspecto matemático es

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representa a una población de individuos, cuyo número en cada instante de tiempo es N. La población crece porque los individuos se reproducen a una tasa r, lo que viene descrito por el primer término de la ecuación, pero cuando el número alcanza a agotar los recursos del entorno (dados por el parámetro K) la población ya no puede crecer más (más sobre la aplicación a dinámica de poblaciones en este post de otro SciLog). Supongamos por simplicidad que K = 1. En ese caso, mientras r sea menor que 3, el sistema se comporta como el péndulo amortiguado: tiene un único punto de equilibrio al que acaba evolucionando empiece desde la población que empiece. Ese punto de equilibrio es una población intermedia, menor que la máxima que puede soportar el entorno, y cuyo valor exacto depende de r. El equilibrio es, además, estable: si alguna perturbación o influencia externa cambia el valor de N, haciéndolo mayor o menor que el que debe tener en el equilibrio, la dinámica subsiguiente hace que el sistema vuelva al punto de equilibrio. 

¿Qué ocurre cuando r supera el valor 3? Pues que tenemos una bifurcación, y más concretamente una bifurcación de duplicación de período (period doubling en inglés; para saber qué pasa después, en el mismo SciLog nos lo cuentan: aquí). El equilibrio ya no es un estado constante, sino que la población oscila entre dos números, saltando de uno a otro en cada instante de tiempo. Es una bifurcación un tanto complicada, pero nos sirve de ejemplo para entender el concepto en general, y centrarnos luego en los casos particulares que tratan Brummit y sus colaboradores. En su caso, sus subsistemas sufren cada uno bifurcaciones tipo... catástrofes en cúspide, nombre que ni hecho aposta para este tema. De hecho, hay en matemáticas toda una teoría de catástrofes, que en realidad trata de ciertos tipos de bifurcaciones, iniciada por René Thom a finales de los años 50 del siglo pasado. Pero como ya me he alargado bastante en este post, pospondré las catástrofes propiamente dichas, las en cúspide y las acopladas, para el siguiente. Espero verle allí si no ha acabado ya en equilibrio inestable, querido lector.