Y ahora sí, catástrofes en cadena

03/08/2016 0 comentarios
Menear

inversiones-disminuyen.jpgMe temo que me ha costado más volver al tema de lo que hubiera querido, pero finalmente, y aprovechando que me han forzado a estar en reposo, vuelvo al blog para acabar lo que empecé en el post anterior: el estudio de la dinámica de catástrofes acopladas de Brummitt, Barnett y D'Souza. Vamos a ver cómo la potencia de las matemáticas de las bifurcaciones nos permite extraer conclusiones potencialmente relevantes para la sociedad.

El modelo considerado por los autores es muy general, y para que no se diga, voy a poner hasta las ecuaciones: 

ecuacoupled.jpg

Estas ecuaciones se obtienen reduciendo la descripción de los dos sistemas de interés, con una técnica estándar en la que no voy a entrar, llamada "formas normales", y recogen los aspectos esenciales de la dinámica de dichos sistemas. Hay dos variables, xy, que representan el estado del sistema; pueden ser el precio del petróleo, la tasa de paro, el porcentaje de descontentos en un país, etc. Cada variable influye en su propia evolución temporal a través de los dos primeros sumandos de la derecha, uno no lineal (el cúbico) y otro lineal. Además, a través las funciones Clos sistemas están acoplados, y cada variable influye en la otra.

Si los sistemas están desacoplados (= 0), cada uno de ellos tiene una bifurcación de tipo catástrofe en cúspide en función de los parámetros constantes ab.  La figura a continuación representa este tipo de bifurcación para el subsistema x:

bifucr.jpg

Cuando crece desde valores negativos, el sistema está en el estado x*, correspondiente a la línea azul en la figura. Al llegar al valor de abreak el sistema cambia bruscamente al estado indicado por la línea roja, sufriendo una bifurcación. Si por el contrario partimos de valores muy positivos de a, el sistema permanece en la línea roja hasta alcanzar el valor asustain, momento en el que cae a los puntos marcados en azul. Este proceso en el que el equilibrio del sistema depende de cómo se va modificando el parámetro a se conoce como histéresis. Podríamos verlo, por poner un ejemplo concreto, como un modelo en el que x representa el malestar social y a el precio del pan, por ejemplo. Al subir el precio del pan, la gente va aguantando hasta que explota (abreak), y si luego se baja el precio, los disturbios continúan hasta precios mucho más bajos (asustain). Hasta aquí, todo bien conocido.

Lo novedoso del trabajo de Brummitt y colaboradores es el análisis cuidadoso de lo que pasa cuando hay un término que acopla ambas ecuaciones, haciendo que las dos magnitudes se influyan mutuamente. Notemos que el término de acoplamiento, sumando en cada ecuación a a y a b, hace que de manera efectiva se modifiquen los valores de estos parámetros aunque nosotros los estemos manteniendo fijos, simplemente debido a la evolución de ambos sistemas. Por empezar con un caso sencillo, supongamos que sólo x influye en y. Aun siendo un caso sencillo, ya nos aparecen tres situaciones distintas. En primer lugar, el sistema y podría sufrir la bifurcación y sólo después de que esto ocurra la sufriría el sistema x; en segundo lugar, ambos sistemas podrían cambiar sus equilibrios sincronizadamente, y por último, el sistema x podría no ser capaz de inducir el cambio en y. Todo esto depende de cuán intensamente estén acoplados los sistemas; si el acoplamiento es suficientemente fuerte, la dinámica habitual es la de que se sincronicen ambos y sufran la bifurcación a la vez.

Si en vez de dos sistemas considerásemos tres, con uno tercero z, de manera que x afecta a yyz, los autores muestran que podemos tener una cascada de catástrofes, es decir, x puede hacer que y sufra una bifurcación y entonces z sufre otra a su vez. Pero también puede ocurrir, dependiendo del estado de y, que éste se salve de la bifurcación, que se propagaría directamente de xz. De nuevo, es importante tener en cuenta que todo el análisis depende de en qué estado están las variables del sistema, ya que sus valores entran en la ecuación tanto directamente como a través del término de acoplamiento.

A partir de aquí, el trabajo se centra en intentar aplicar lo que nos dice este modelo simplificado a fenómenos reales. Los autores son claros: los modelos de procesos económicos y sociales son idealizaciones muy simplificadas, digamos que alejados un paso de la realidad, pero las ecuaciones que ellos estudian son simplificaciones de las simplificaciones, es decir, alejadas ya dos pasos, o dos niveles. Por tanto, su idea es intentar encontrar evidencia de que los dos fenómenos sugeridos por su análisis, el de que las cascadas de catástrofes pueden afectar en cadena a todos los sistemas, o el de que algún subsistema actúa como intermediario sin sufrir la bifurcación, se observan en realidad. Este último proceso es de hecho el más novedoso.

Buscando un ejemplo concreto, se centran en el modelo de Kuran, que pretende describir las revoluciones políticas inesperadas. Sin entrar en muchos detalles, el modelo tiene una variable, que es el porcentaje de gente que se declara públicamente partidaria de la oposición al gobierno. La bifurcación puede ocurrir porque, por ejemplo, una crisis económica cause un vuelco en las opiniones, o porque se empiece a percibir como más aceptable el apoyar a la oposición. Kuran plantea su modelo para un único país, pero en este trabajo los autores lo generalizan a varios países, introduciendo términos de acoplamiento. En este caso, el acoplamiento puede representar el que un país financie una revolución en otro, o que una identidad percibida como común (como en el caso árabe) arrastre a países que la comparten. Una vez generalizado, los autores consideran los datos disponibles para contrastar la existencia de los fenómenos mencionados.

La figura siguiente recoge en un gráfico la fecha en que empezaron las protestas en los países árabes, en el eje horizontal, frente a la tasa de paro, en el vertical, que los autores proponen como uno de los parámetros que hace que el sistema pueda sufrir una catástrofe. A la vez, cada país está conectado con los cinco con los que más contactos tiene en Facebook, como medida de la relación y, en términos matemáticos, del posible acoplamiento entre países. 

facebook arabes.jpg

El gráfico muestra evidencia de que hay cascadas normales, pero también de que hay cascadas con intermediarios que no las sufren. Los autores identifican tríos de nodos, de países, que cumplen las siguientes condiciones: hay un camino que lleva de xyz, ningún otro país donde la protesta empezó antes que en z está conectado con éste, y las protestas empezaron primero en x, luego en z, y finalmente en y, si es que llegaron a empezar en este último caso. La figura destaca uno de estos ejemplos: Egipto, de ahí a Arabia Saudí, y de ahí a Bahrein, pero hay hasta otros 9 candidatos a un proceso con intermediario. Cuidadosos durante todo el artículo, los autores interpretan que sus datos sugieren que Arabia Saudí ha servido de intermediario entre dos países cuyas circunstancias socioeconómicas los pusieron cerca de sus puntos de bifurcación. En este sentido, es importante fijarse que en cuanto al parámetro de control, efectivamente Arabia Saudí está más lejos de posibles problemas que Egipto y Bahrein, y pese a ello propaga la revuelta.

Como conclusión general, esta investigación muestra que cuando tenemos procesos dinámicos interconectados, posiblemente formando una red, hay que estar muy atentos a nodos centrales, que sirven de puente entre muchos otros. Cambios que aparentemente son muy pequeños, y que de hecho pueden venir causados a su vez por otros nodos, en estos nodos pueden arrastrar a otros a sufrir catástrofes de enormes consecuencias. Un fenómeno similar podría haber ocurrido en la crisis financiera de 2008, en la que muchos bancos pequeños quebraron en Estados Unidos sin que lo hicieran muchos grandes. A partir de aquí, queda mucho por hacer... matemáticamente. Estimar puntos de transición o de bifurcación, mejorar los modelos, tener mejores descripciones matemáticas, etc. Esperemos que este primer paso anime a más investigadores a abordar este problema.