Apilando naranjas

12/12/2014 0 comentarios
Menear

Teniendo como excusa los apilamientos de naranjas, repasaremos la historia de la conjetura de Kepler que parece, finalmente, completamente resuelta desde agosto de este año. Terminamos proponiendo un ejercicio a los lectores.

Comenzamos esta macedonia matemática con un problema frutal. No podía ser de otra manera: la entrada inicial del blog ha visto la luz durante un viaje a Valencia.

Preguntad a cualquier frutero cuál es la mejor forma de apilar las naranjas. Casi encontraríamos una respuesta unánime. También se apilan así las sandías. Y las balas de cañón. ¿Encontramos algo común a todos estos elementos?

 naranjas

No es difícil darnos cuenta de que nuestro problema es precisamente el de encontrar el mejor método para apilar esferas.

Sir Walter Raleigh preguntó a su asistente Thomas Harriot cuál era el número de balas de cañón que se podían apilar en un montón, conociendo cuántas formaban la base. El 12 de diciembre de 1583, Harriot presentó a Raleigh un manuscrito con una tabla que contenía la respuesta a esa pregunta. Pero Harriot no paró ahí: se preguntaba si esa forma de apilar las esferas sería la mejor posible. ¿Y qué mejor que preguntar a Johannes Kepler sobre este asunto?

Kepler no dio una prueba formal de este hecho pero sí que indicó que tenía que ser cierto, debido a los siglos de experiencia de los fruteros apilando naranjas. Lo cuenta en su libro Sobre el copo de nieve de 6 vértices (1611).

'El mejor apilamiento posible' se entiende como el apilamiento que presenta una mayor densidad de ocupación: pensaremos en cubos y obtendremos esa densidad dividiendo el volumen ocupado por esferas (o partes de esferas) que quedan dentro del cubo entre el volumen de éste. El apilamiento usual de las naranjas se corresponde con hacer una malla cúbica y situar los centros de las naranjas en los vértices del cubo y en los centros de las caras. En este caso la densidad es 

Kep
 

Gauss, en 1831, probó que de entre todos los apilamientos reticulares (esto es, en los que las diferentes copias de un patrón nos determinan la configuración total) el descrito es el que da la mayor densidad de ocupación.

Aun así, para el matemático esto no es suficiente: podría darse el caso de que se alcanzara la mayor densidad con una disposición no reticular. El problema desde entonces ha llamado la atención de muchos matemáticos. Entre ellos David Hilbert, quien en el puesto 18 de su famosa lista de 23 problemas presentada en el Congreso de París de 1900, plantea el problema del apilamiento. En 1953 László Fejes Tóth dio un paso decisivo, reduciendo el estudio de esta cuestión (que inicialmente involucraba optimizar en un espacio de variables de dimensión infinita) a un problema de optimización con un número finito de variables. Muy grande, pero finito.

Claude Ambrose Rogers, otro de los estudiosos del problema, que contribuyó a acotar superiormente la densidad de apilamiento, puso de manifiesto en 1958 la dificultad de probar esta conjetura, enfatizando que, en cualquier caso, "muchos matemáticos creen y todos los físicos saben" que la mayor densidad de apilamiento es 0,7404...

En efecto, la resolución del problema era demasiado complicada, puesto que a pesar de la simplificación de Tóth seguía siendo un problema demasiado grande: había que analizar 5000 grafos distintos, convertidos en ecuaciones de 200 variables con 2000 restricciones. En 1998 el problema inició el camino hacia su solución por parte de Thomas Hales, quien anunció que lo había conseguido, con una demostración de más de 250 páginas. Los revisores de Annals of Mathematics tardaron 5 años en considerar que, efectivamente, la conjetura de Kepler se había resuelto.

En el mundo de las matemáticas las demostraciones que dependen fuertemente del análisis de casos por un ordenador no están demasiado bien vistas y se procura siempre una demostración formal. El propio Hales era consciente de la necesidad de una prueba formal para la conjetura de Kepler e inició el proyecto Flyspeck que, basándose en la prueba original, pretendía proporcionar una prueba formal a la conjetura. El 16 de agosto de este año 2014 anunció que el proyecto estaba terminado y que ya se disponía de una prueba a esta conjetura.

431 años después de la cuestión de Thomas H. (H = Harriot) fue otro Thomas H. (ahora H = Hales) quien concluyó el trabajo. Es bonito conocer este resultado en el año dedicado a la cristalografía, dado que el libro de Kepler 'Sobre el copo de nieve de 6 vértices', donde menciona su famosa conjetura, es considerado para muchos como el fundamento de la cristalografía.

No pediremos al lector que intente probar la conjetura de Kepler, sino algo mucho más sencillo: emulando a Harriot en su inicio tratando de dar una respuesta a Raleigh:

Si apilamos naranjas partiendo de una base triangular o cuadrangular y sabemos cuántas naranjas hay en esa base ¿cuántas naranjas tenemos en total en todo el montón?

Esperamos vuestras respuestas y comentarios.