Aprovechando la gran oferta frutal del verano relanzamos el blog. No solo ha sido sorprendente el peso de los turrones sino el de los quehaceres diarios. Han sido unos meses con mucho trabajo, mucho cambio, muchas decisiones que tomar, mucho viaje y, simplemente, no encontraba tiempo para escribir. Mathedonia vuelve, y para quedarse.

Hemos visto cómo, al igual que todos los veranos, han aparecido de la nada los puestos de melones. Sí, esas "tiendas" que un día, de repente, se instalan en una acera ancha o en un solar sin edificar. Ahí venden dos tipos de frutas: melones y sandías. Hoy nos ocuparemos de las esferas y, si queremos identificar este cuerpo geométrico con una fruta, la que elegiríamos para describirla sería, casi seguro, la sandía. Porque... claro, todas las sandías son redondas ¿o no?

Bueno... quizá no todas las sandías son redondas. Estas son demasiado raras, y creadas aposta de esa manera para que no ocupen espacio en el frigorífico. Claro, esta observación nos lleva a hacernos una pregunta, la que da título a la entrada: ¿son todas las bolas redondas?

Por la forma como lo pregunto, ya se ve que la respuesta va a ser negativa. La distancia a la que estamos acostumbrados es la distancia euclídea. Es la que utilizamos en el día a día.

Si tenemos dos puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) la distancia entre estos dos puntos se calcula de la siguiente manera:

 

 

Y, por comodidad, llamamos bola de centro A y radio r al conjunto de puntos cuya distancia a A es menor que r, esto es

resulta que, con la distancia euclídea, al representar una bola en el plano obtenemos un círculo. Si estuviéramos trabajando en el espacio tridimensional obtendríamos una bola, de ahí proviene el nombre.

Pero hay ocasiones en las que nos interesa medir de una forma distinta. Por ejemplo, ¿cuánto debemos recorrer si nos movemos por el ensanche de Barcelona? Como no podemos atravesar los edificios, sino que estamos condenados a rodearlos, esa distancia aumenta. Es la distancia que se conoce como distancia Manhattan o distancia taxicab. Los matemáticos la llamamos d₁.

 

 

Esa distancia es la que también utilizan algunas compañías aéreas en las que te dicen que la suma de largo+ancho+alto de una maleta no puede superar cierta cantidad.

La forma de definirla es

Otras compañías aún nos lo ponen más difícil y lo que nos ponen son valores máximos para las dimensiones de la maleta (sí, nos hacen meterla en una especie de caja para ver si cabe). Ahí estaríamos utilizando algo parecido a la que conocemos como métrica del supremo: en este caso la distancia se determina de este modo:

Esto lo comprobamos cundo queremos que un mueble pase por una puerta. Nos basta con que una de sus dimensiones sea menor que el vano en el muro por el que tiene que pasar. En la nevera nos encontramos con este problema: es más fácil colocar un cartón de leche que una sandía.

Si representamos la bola unidad para cada una de estas distancias obtenemos cosas muy curiosas:

 

En trazo verde aparece representado el límite de la bola correspondiente a la distancia infinito, en trazo rojo la correspondiente a la distancia euclídea y en trazo azul la bola correspondiente a la distancia Manhattan.

Así que... cuando penséis en sandías cúbicas, que son las que mejor aprovechan el espacio, acordáos también de las diferentes formas de medir. Y, si queréis tener vuestra propia sandía cúbica, seguid este enlace.