Ya nos hemos comido el turrón (por cierto, ¿lo pesasteis como indicábamos en la entrada anterior?), también hemos pasado el inicio del año, el blue monday (que en su origen era parte de una campaña publicitaria de líneas aéreas) y estamos en plena temporada de gripe. Tenemos que volver a nuestra dosis de vitamina C.

Recuerdo los antecedentes: estábamos hablando del problema de Kepler de empaquetamiento de esferas. Resolvimos el problema de cuántas naranjas hay en una pila de base triangular y hoy vamos a resolver cuántas hay en un montón piramidal de base cuadrada. Podríamos utilizar una ecuación en diferencias, tal como hicimos la vez anterior, pero queremos recordar a los seguidores de este blog qué es la inducción matemática, puesto que la utilizaremos en más ocasiones.

 

Llamaremos n al número de bolas que conforman el lado de la base cuadrada de la pirámide. B(n) será el total de bolas.

B(1) = 1
B(2) = 2² + 1²
B(3) = 3² + 2² + 1²

en general, B(n) será la suma de los cuadrados de los números de 1 a n

B(n) = 1²+ ... + n²

Así, como caído del cielo, afirmaremos que

 

El lector preguntará ¿Y de dónde sale esta fórmula? En este caso la he buscado en un libro. Recuerdo que precisamente era uno de los ejemplos que venían en el Calculus de Michael Spivak como ejemplo de inducción matemática (por cierto, que ese es uno de mis libros de matemáticas favoritos, por la materia que cubre y la forma como está redactado, que no es usual en un libro de texto). Si no, podríamos haberla deducido por diferentes métodos (véase cómo hicimos con una pirámide de base triangular) o tanteando cómo podía encajar a la vista de que B(1) = 1, B(2) = 5, B(3) = 14, B(4) = 30 (sí, para esto hay que tener mucha visión numérica, pero a veces los descubrimientos en matemáticas se hacen así, gracias a la intuición que te proporciona la experiencia).

Aunque no hayamos deducido esta fórmula sí que vamos a probar que es correcta.

Esa fórmula se verifica, obviamente, para n = 1, puesto que 1 = 1(1 + 1)(2·1 + 1)/6.

Ahora, probaremos que supuesto que la fórmula se verifica para un cierto n entonces también se verifica para el siguiente número (n + 1). Si somos capaces de probar eso la fórmula será válida para cualquier número natural n.

En efecto, se verifica para n = 1. Pero si hemos probado que verificado para n también es válido para n + 1, por cumplirse para 1 también se cumplirá para 2. Por razón análoga será cierta para n = 3, y para 4. Y para 5... Se suele hacer una analogía entre la inducción matemática y la caída de fichas de dominó: supongamos que siempre que se cae una ficha de dominó esta empuja a la siguiente. Entonces, si tiramos la primera terminarán cayéndose todas.

Bueno... vamos al tajo.

Recordemos que, tal como hemos dicho antes, nuestra hipótesis de inducción es 

y, como la fórmula es cierta para n = 1, para probar su validez para cualquier n lo que debemos hacer es probar que la fórmula para n + 1 mantiene el mismo esquema, es decir, que

Vamos a ver cómo se llega a ello:

¿Podrá el lector hallar una fórmula para calcular la suma de los cubos de los primeros naturales y después probarlo por inducción?