Celebramos en 2015 el centenario de la formulación de la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein, que resuelve el enigma de la gravitación como una distorsión del espacio-tiempo creada por la masa y la energía. Es un hito físico-matemático del siglo XX sólo comparable en importancia a la Mecánica Cuántica en su influencia para cambiar nuestra concepción del Mundo, proporcionando una descripción certera de notables fenómenos que no comprendíamos, y abriéndonos de repente a mundos sorprendentes cuya existencia no sospechábamos. Albert Einstein ya había promovido una revolución previa en 1905 con su teoría de la Relatividad Especial. Ser autor de dos Grandes Modelos de la Ciencia no es algo que se repita mucho en la Historia. Justamente por ello, y por su personalidad tan atractiva y sus muchos intereses humanos, Einstein es uno de los iconos culturales más influyentes que el pasado siglo nos ha legado.

En estos cien años el modelo propuesto por Einstein se ha consolidado como uno de los hitos de la ciencia y ha cambiado nuestra concepción del universo, de la cosmología y de la astrofísica. Como matemáticos, no vamos a discutir esos fascinantes desarrollos, que están siendo descritos por otros blogueros, empezando por el estupendo y ameno post de Juan García-Bellido.

Enfocaremos nuestro artículo hacia algunas preguntas ¿qué es un Gran Modelo de la Ciencia?, ¿qué papel ocupan los modelos einsteinianos en el relato completo de los hechos?, ¿cómo llegó a imaginar la Relatividad General? ¿Qué papel juegan las matemáticas, ese amigo secreto de los físicos? Eso es lo que vamos a intentar contarles a continuación.

Grecia y la modelización del mundo que nos rodea

La descripción del mundo físico que nos rodea ha sido una constante aspiración de la Humanidad desde siempre. Las notables regularidades de algunos de esos fenómenos dieron lugar al instinto matemático para registrar los hechos, periodicidades y otras estructuras, como en el caso del calendario y la predicción de eclipses.

Fueron los filósofos de la Antigua Grecia quienes por primera vez se preocuparon de hallar la esencia de lo que observaban a partir de principios fundamentales, comenzando por Tales de Mileto hace ya más de 25 siglos. Y otros de ellos creyeron en la virtud profunda de las matemáticas para materializar ese intento, como resume la frase de Pitágoras  "todo es número". Así nacieron casi al tiempo la filosofía natural que hoy llamamos Física, surgida tras observar el mundo sin explicaciones mágicas, y la necesidad de usar las Matemáticas para expresar una parte esencial del saber obtenido. Este es el momento inicial de un matrimonio duradero entre la Física y las Matemáticas, no siempre avenido pero de un brillo incomparable en los momentos estelares.


Imagen idealizada de Euclídes

Quizá fueron las matemáticas las que se adelantaron en hacer sus deberes. Hacia el año 300 a.C. Euclides de Alejandría nos legó una descripción matemática del espacio tridimensional en que nos movemos, así como su hermano menor, el plano, a la vez que desarrollaba la aritmética. En realidad, el espacio y el plano euclídeos son entes imaginados que representan una versión ideal del mundo complicado en que vivimos, es decir son un modelo matemático. Este modelo del espacio y sus objetos distinguidos (rectas, triángulos, círculos y un largo etcétera) junto con la demostración matemática de sus propiedades de acuerdo con la estricta lógica, se ha mantenido vigente hasta nuestros días y es en el que pensamos en nuestra vida cotidiana.

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El espacio y el plano euclídeos son entes imaginados que representan una versión ideal del mundo complicado en que vivimos pues son un modelo matemático.

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 Newton, el gran modelizador

El siguiente momento histórico fundamental que queremos señalar llega mil ochocientos años más tarde, cuando Europa despertaba de su letargo científico medieval y la gran revolución que llamamos Ciencia Moderna estaba naciendo. Es entonces cuando los astrónomos se preocupan por los defectos del sistema planetario de Tolomeo y toma forma la certeza del modelo heliocéntrico copernicano. Fue Galileo Galilei quien enunció la necesidad de buscar una explicación matemática a la nueva dinámica celeste, del que nuestro mundo sólo es un actor más. Para finales del siglo XVII el genio incomparable de Isaac Newton resolvía ambos problemas con las fórmulas hoy día consagradas

                                     F=m a,                  F=G M m/r2.

En la primera codifica la dinámica. Las aceleraciones (que denotamos por a) que sufren los cuerpos que se mueven -en el ambiente terrestre o el celeste, tanto da- son debidas a unas misteriosas fuerzas F que no se ven pero se sienten, con una constante m que es la masa inercial del cuerpo. La segunda, más concreta y genial, describe la gravedad como el resultado de una atracción instantánea a distancia cuya fórmula contiene una constante universal G y pone a todos los cuerpos, ya sean seres animados o pedruscos, en igualdad de poder atractivo si tienen la misma masa. Mas aún, la masa m de ambas fórmulas es la misma (es lo que se conoce como la identidad de la masa gravitatoria e inercial). Las características notables de esta fuerza gravitatoria (como ser instantánea, su actuación a distancia incluso en el vacío, y el hecho de que la masa m sea la misma en ambos casos), levantaron ampollas entre los filósofos naturales, rivales o neutrales.

Newton, el Gran Modelizador

Pero una de las grandes creaciones matemáticas de Newton, el Cálculo diferencial e integral, vendría en su ayuda con gran brío y estilo. La física newtoniana se desarrolla en un espacio euclideo ideal y en un tiempo continuo absoluto y el Cálculo le permitió calcular las trayectorias que describían los cuerpos en tal escenario. En particular, pudo validar todos los resultados planetarios de Tycho Brahe, Kepler y Copérnico, y poco a poco todos los problemas prácticos que surgieron. Es el nacimiento estelar de la Mecánica Matemática de Newton y del Modelo de la Gravitación que reinó en Europa hasta la crisis que daría lugar a la Relatividad. Newton es pues el Gran Modelizador de la Era Moderna y su gravitación y sus matemáticas diferenciales son dos de las mayores joyas del legado de la Ciencia

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Newton es el Gran Modelizador de la Era Moderna y su gravitación y sus matemáticas diferenciales son dos de las mayores joyas del legado de la Ciencia.

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El Electromagnetismo de Maxwell

La crisis de la teoría newtoniana terminó llegando y vino de manera inesperada como consecuencia del desarrollo de otra gran teoría física, el Electromagnetismo, producto estelar del siglo XIX, que pasó por un largo período de elaboración de los resultados experimentales. Gracias al interés de científicos de varios países, alcanzó la perfección de los Grandes Modelos físico-matemáticos en la forma de las Ecuaciones de Maxwell, un sistema de EDPs (ecuaciones en derivadas parciales) lineales que permiten describir el campo electromagnético. El genio de James C. Maxwell, otro de los máximos modelizadores de la Historia, vio que la luz era un caso de las ondas descritas por el sistema. Si escribimos el sistema de Maxwell como una ecuación de ondas, vemos que aparece una constante física a determinar por la realidad experimental: la velocidad de la onda.

James Clerk Maxwell

En un experimento famoso Albert Michelson y Edward Morley midieron esa velocidad en el caso de la luz en el aire y encontraron el valor que todos conocemos y que llamaremos c~300000 km/sg. Pero el diablo está en los detalles. De acuerdo con las leyes de la cinemática de Galileo-Newton, esa velocidad debe ser diferente si se mide desde un punto en reposo o uno en movimiento uniforme. Tras replicar el experimento con todo cuidado, no pudieron detectar la diferencia y no les quedó más remedio que concluir que la velocidad de luz es constante en todos los sistemas inerciales y Galileo y Newton deben ser corregidos.

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La velocidad de luz es constante en todos los sistemas inerciales y Galileo y Newton deben ser corregidos.

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La Relatividad Especial de Einstein

Con no poca consternación pero con gran ánimo, los modelizadores empezaron a examinar el edificio en busca de la reforma, o si fuera preciso la revolución, que devolviera a la Física la autoestima acostumbrada. Pero, ¿iba a ser la intuición de los conceptos esenciales de la Física o iba a ser el lenguaje matemático la vía preferente hacia la solución? Como es bien sabido, fue la primera de esas vías, y sucedió en 1905 de la mano del jovencísimo Albert Einstein, físico que trabajaba en la oficina de patentes en Zürich, que con su carácter soñador imaginó qué sucedería si pudiéramos ir montados en un rayo de luz.

Albert Einstein

Este Einstein representa el inmenso poder de la imaginación en la formación del buen científico. En concreto, hubo de destruir la independencia del espacio y el tiempo para formar un constructo llamado espacio-tiempo donde para dos observadores que se mueven relativamente con una velocidad uniforme (movimientos inerciales) ni los intervalos temporales ni las longitudes espaciales son las mismas, de ahí la palabra Relatividad. Sólo la velocidad de la luz tiene el derecho a priori de ser constante.

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 Einstein representa el inmenso poder de la imaginación; hubo de destruir la independencia del espacio y el tiempo para formar un constructo llamado espacio-tiempo.

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Como la teoría era válida sólo para sistemas inerciales, no acelerados uno respecto del otro, se llamó Relatividad Especial. Era 1905, el "annus mirabilis" de Einstein por sus tres contribuciones fundamentales a la Física. Todo el razonamiento de la Relatividad Especial se basa en experimentos mentales (los famosos Gedankenexperimente) con metros, relojes y rayos de luz de velocidad constante, que son para Einstein lo que los axiomas a Euclides. El modelo de Euclides-Galileo-Newton quedaba anulado como verdad en ese nuevo "mundo relativista", pero seguía vivo en la vida diaria porque la velocidad de la luz es enorme y nuestra vida discurre a velocidades pequeñas. Así, la corrección relativista se puede olvidar y el modelo de Newton sigue siendo útil. Pero no todo va a esas velocidades cómodas, pronto se amaestraría el electrón y se le haría dar vueltas a velocidades casi fantásticas. Y el nuevo modelo asoma ahí sus sorprendentes propiedades. 

El reto definitivo. la Relatividad General

Desde que en 1905 publicara la Relatividad Especial, Einstein se dio cuenta de que para completar su teoría debía incorporar los campos gravitatorios que había ignorado hasta ese momento. Quizás una idea razonable fuera modificar las leyes gravitacionales de Newton de manera que tengan sentido en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones que nos legó la Relatividad Especial. El problema es que, por ejemplo, la aceleración que aparece en la segunda ley de Newton se puede ver como una derivada segunda sólo respecto a las coordenadas espaciales (una dificultad más sutil es que los campos gravitatorios newtonianos se propagan a velocidad infinita).

Sin embargo, este intento podía ser razonable para un físico con cierto aprecio por las matemáticas. No para Einstein en 1905, quien veía las ciencias exactas como un lujo y que se encontraba en el punto más alto de su creatividad e intuición física. Su estilo -esa metafísica de los investigadores- se caracterizaba por el hecho de que las ecuaciones eran una consecuencia casi inmediata de su comprensión profunda de la Física, que siempre venía dada por imágenes y por sus experimentos mentales. Además, Einstein desarrolló un gusto exquisito por la Filosofía y no podía dejar de preguntarse ¿De dónde viene esa misteriosa fuerza gravitatoria y por qué la masa inercial es igual a la masa gravitatoria de la fórmula?, preguntas que habían quedado olvidadas gracias al éxito práctico de la teoría newtoniana.

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Einstein se preguntaba ¿De dónde viene esa misteriosa fuerza gravitatoria y por qué la masa inercial es igual a la gravitatoria?, preguntas que habían quedado olvidadas gracias al éxito práctico de la teoría newtoniana.

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 Entonces, ¿Cuál es la imagen mental que guió a Einstein en su intento de unificar la gravedad y la Relatividad Especial? Según ha contado Einstein, cuando aún trabajaba en la oficina de patentes, tuvo el pensamiento más feliz de su vida: se dio cuenta de que una persona cuando cae, no siente su propio peso (las malas lenguas dicen que Einstein llegó a esta conclusión cuando, holgazaneando en su silla, lo experimentó por sí mismo). Desde ese momento, Einstein trabajó muy duro para entender este hecho y estudiar las implicaciones que podría tener para la Física. Sin embargo, lo que Einstein no sospechaba era que aunque Dios no es malvado, la Física es tozuda y sus verdades se expresan usando Matemáticas profundas.

1907-1912. Los años de hierro en el largo camino

Entre los años 1907 y 1912, Einstein publica tres artículos en los que empieza a plantearse la cuestión de cómo acomodar la aceleración en el marco de la Relatividad Especial. En 1907 Einstein ya enuncia su Principio de Equivalencia, según el cual "todos los efectos de un campo gravitatorio uniforme son idénticos a los efectos de una aceleración uniforme del sistema de coordenadas", y lo eleva a un principio fundamental de la Física que debe ser válido para cualquier otra teoría de la Física, incluyendo la teoría Electromagnética. Además, estudia algunas de sus consecuencias: el tiempo es influido por la gravedad pero sobre todo predijo que los rayos de luz se curvan cuando pasan por un objeto masivo. De hecho, usando trigonometría, calculó que los rayos luminosos al pasar cerca del Sol se debían desviar por su acción gravitatoria un ángulo de 0,83'' (cometiendo áun un error del 100%, como arrojaría años después la Relatividad General).

El Principio de Equivalencia se puede enunciar diciendo que la fuerza sobre Albert cuando es acelerado hacia arriba por el ascensor es la misma, y tiene el mismo efecto, que si es acelerado por un campo gravitatorio equivalente (Departamento de Astronomía de Cornell)

A pesar de que lucha por plasmar su intuición, en 1912 tiene que reconocer su derrota pues se ve abocado a concluir que su teoría sólo acomoda el Principio de Equivalencia en regiones infinitesimales. Esto era intolerable para Einstein quien lo único que tenía claro era la validez de este principio. Es como si quisiera montar un mueble de IKEA para el salón; intuye que es lo que necesita para que su casa sea un hogar pero, ay, a alguien se le ha olvidado incluir el libro de instrucciones.

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En 1912, Einstein se ve abocado a concluir que su teoría sólo acomoda el Principio de Equivalencia en regiones infinitesimales. Esto era intolerable.

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Crucial cambio de rumbo 

Pero los dioses fueron propicios a Einstein y una circunstancia personal cambió todo para bien. En 1912, Einstein volvió a Suiza a incorporarse como profesor a la ETH donde había estudiado y había dado muestras tanto de su talento como de un inconformismo rayano en la provocación (Minkowski le llegó a llamar perro perezoso). Por tanto, la vuelta de Einstein a Zúrich era casi una parábola bíblica. Una vez allí, visitó a su antiguo compañero de clase Marcel Grossmann, por entonces profesor de matemáticas, quien le introdujo en la geometría de Riemann y, en general, en la geometría diferencial. Además, le puso en contacto con el matemático italiano Tullio Levi-Civita, a instancias del cual Einstein comenzó a explorar la utilidad de la formulación tensorial y los conceptos básicos como covarianza general para su teoría de la gravedad. En particular cayó en sus manos la sofisticada teoría tensorial puesta a punto por Ricci y Levi-Civita en 1901, con antecedentes en Gauss y Riemann.

Grossmann, el catalizador

En retrospectiva, estos años de aprendizaje se pueden ver como un punto de no retorno en nuestra historia. Fermat, en el siglo XVII estableció una ley básica de la Naturaleza según la cual un rayo de luz que atraviesa un medio heterogéneo sigue una trayectoria que minimiza el tiempo transcurrido en unir dos puntos dados de la trayectoria. Un matemático diría que los rayos de luz describen geodésicas.

Por tanto, si hacemos caso a Einstein y aceptamos que los rayos de luz se curvan por acción de la gravedad, nos vemos obligados a abandonar la confortable geometría euclídea de los espacios planos, donde las geodésicas son rectas, para adentrarnos en el proceloso mundo de la geometría de los espacios curvos legada por Riemann, donde las geodésicas son curvas. Desde ese momento, Einstein, como un boxeador metódico, se desollaría los nudillos luchando contra el "cálculo diferencial absoluto" de Ricci y Levi-Civita.

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Si los rayos de luz se curvan por acción de la gravedad, debemos abandonar la geometría euclídea para adentrarnos en la geometría de los espacios curvos de Riemann.

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1913. El viaje a ninguna parte

Aunque en el artículo de 1912 Einstein ya viera que el espacio-tiempo no era ni absoluto, ni rígido, ni plano, tuvo que esperar hasta 1913 para entender que las masas de los cuerpos son los responsables de la deformación del espacio-tiempo. Lo hizo en el artículo "Esbozo de una teoría general de la relatividad y de una teoría de la gravitación", escrito junto a su amigo Grossmann en 1913.

Usando la identidad entre las masas inercial y la masa gravitatoria (que es una manifestación del Principio de Equivalencia), Einstein comprende que la gravedad es una propiedad intrínseca del espacio-tiempo y no una fuerza misteriosa como defendía Newton. Desde ese momento, Einstein empieza una lucha encarnizada por "geometrizar la gravedad", es decir, la gravedad como una manifestación de alguna propiedad geométrica del espacio-tiempo.

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En 1913, Einstein comprende que la gravedad es una propiedad intrínseca del espacio-tiempo y no una fuerza misteriosa como defendía Newton.

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A Einstein le gustaba decir que las ecuaciones de campo son "similares a un edificio en el cual una de sus alas es de fino mármol, mientras que la otra es de madera de baja calidad". Ya en 1913 había llegado al convencimiento de que la deformación del espacio-tiempo tenía que ser directamente proporcional a las masas de los cuerpos presentes. Esa es la idea que intenta plasmar en las ecuaciones de campo que propone en la segunda parte del artículo con Grossmann. El problema es que, si bien en el segundo miembro aparece el tensor energía-momento (sin entrar en detalles, da las densidades de energía y momento lineal), la parte geométrica del primer miembro no está aún clara. Einstein (mucho menos Grossmann) no consigue identificar cuál es la propiedad geométrica de los espacios curvos de Riemann que explica la gravedad. Más que mármol, el primer término de estas ecuaciones parece arena que se pierde entre los dedos.

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Einstein no conseguía identificar cuál es la propiedad geométrica de los espacios curvos de Riemann que explica la gravedad.

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1914. Otro año perdido

En 1914 ya poco quedaba de aquel Einstein que despreciaba las matemáticas por ser un puro lujo, casi un ornamento innecesario como los dorados en un retablo barroco que esconden más de lo que enseñan. El físico con una intuición física sobrenatural había dado paso a un trabajador de las matemáticas, a un cirujano de los tensores. Probaba todas las prácticas del mundo tensorial: subía y bajaba índices, hacía derivadas covariantes, escribía cartas a Ricci y a Levi-Civita pero, sobre todo, se desesperaba. Había adoptado la estrategia kamikaze de agotar todas las posibilidades y jugar con todos los tensores. Por eso, en un artículo de 1914 propone unas ecuaciones de campo en que la curvatura está mezclada con el tensor energía-momento que aparecía en el segundo miembro dando un Frankenstein que no podía albergar ninguna verdad física y destinado a bibliografías de investigadores puntillosos.

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En 1914, en el segundo miembro aparecía un Frankenstein que no podía albergar ninguna verdad física.

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4 de noviembre de 1915: Aparece el tensor afortunado

Sin embargo, en la sesión del 4 de noviembre de 1915 de la Academia Prusiana de Ciencias (que se publicaría como artículo el 11 de noviembre en sus Actas), Einstein reconoce su error y, en contra de lo que pensaba el año anterior, no ha agotado todas las posibilidades y ha encontrado una "ley de la gravitación que corresponde a un postulado razonablemente formulado de relatividad general". Por primera vez, usa el tensor de curvatura de Ricci en el miembro geométrico y es proporcional al tensor energía-momento que aparece en el miembro material. El problema - malditos tensores - es que usa una versión especial del tensor de Ricci que implica que estas ecuaciones se transforman de manera correcta "con respecto a cambios de coordenadas arbitrarios de determinante 1". Por tanto, tiene que trabajar para que las ecuaciones admitan cambios de coordenadas arbitrarios. El tensor de Ricci sale así de una discreta y breve existencia y se prepara para un papel estelar como protagonista de la curvatura del espacio-tiempo.

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Por primera vez, usa el tensor de Ricci en el miembro geométrico y es proporcional al tensor energía-momento que aparece en el miembro material.

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 11 de noviembre de 1915. Llegando lentamente a la meta

No es muy aventurado especular que Einstein ya sabía que usando el tensor de Ricci (o algún primo cercano) podía recuperar las ecuaciones de Newton a velocidades bajas, principio básico de compatibilidad con la vida diaria. De hecho, sólo siete días después en la sesión correspondiente de la Academia de Ciencias Prusiana (que aparecería como artículo el 18 de Noviembre) formuló una identidad que establecía que el tensor de Ricci era proporcional al tensor energía momento (la constante de proporcionalidad resultaría ser la mitad del valor correcto). Lo importante es que ya está claro que los cambios de coordenadas transforman las ecuaciones de la manera correcta y, más aún, tiene como límite -cuando la velocidad es pequeña- las ecuaciones de Newton. Por si esto fuera poco, vuelve a predecir la precesión del perihelio de Mercurio y explica la curvatura de la luz. Pero estas no eran aún las ecuaciones correctas. La conservación de la energía-momento implica que cierta operación (la derivada covariante) anula el tensor energía-momento, mientras que en el miembro geométrico, el tensor de Ricci no posee esta propiedad.

25 de Noviembre de 1915. La solución final

El éxito final llega el 25 Noviembre de 1915 y es una reivindicación espectacular de la vía matemática hecha por el más improbable de los autores, Albert Einstein, que siempre había recelado de ella. El resultado son las ecuaciones del campo de Einstein que se escriben en clave matemática como

                                                        Rij-1/2Rgij=8 pi G Tij

donde Rij es el tensor de curvatura de Ricci, R es la correspondiente contracción del tensor, gij es el tensor de la pseudométrica (no es definida positiva) que determina la geometría del espacio, Tij es el tensor de energía-momento y G es la esperada constante gravitacional universal. Así queda introducida en sociedad la Relatividad General, una de las cumbres intelectuales de la humanidad. Dado que los índices i,j van de 1 a 4 y los tensores son simétricos, se trata de un sistema de 10 ecuaciones en derivadas parciales no lineales.

Un genio adorable (por Ruth Orkin)

Fue la consagración definitiva. Pero miremos este aspecto sorprendente: Einstein, el campeón de la intuición y los experimentos mentales, pasó a ser gran creyente en las virtudes del método matemático tras su experiencia con la Relatividad General, pero el tiempo de sus descubrimientos extraordinarios, ay, había concluido

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Einstein, el campeón de la intuición y los experimentos mentales, pasó a creer en las virtudes del método matemático pero el tiempo de sus descubrimientos extraordinarios, ay, había concluido.

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Repercusión

El modelo era matemáticamente formidable pues se trata de un sistema de diez EDPs no lineales, que lo situaba fuera del currículum de las matemáticas de entonces; era tan novedoso que podía ser tachado de especulación matemática. Hubo pues un momento de duda y precaución en la comunidad científica. Pero la pronta comprobación experimental de algunas de sus predicciones sobre fenómenos cósmicos inexplicados abrieron la vía a la aceptación general.

 Imagen del eclipse de 1919 que permitió a Eddington concluir experimentalmente una de los principios de la Relatividad General: los rayos de luz se curvan al pasar cerca de un objeto masivo

El 6 de noviembre de 1919, cuatro años después de completar la relatividad general, se anunciaron al mundo las mediciones astronómicas de A. Eddington que establecían que las posiciones de las estrellas eran ligeramente diferentes de lo que predecían las leyes de Newton y coincidían con la predicción de la teoría de Einstein. Fue entonces cuando éste se convirtió en un héroe científico y un icono mediático: "el hombre que derrocó a Newton". La influencia de la Relatividad General sobre la Astronomía y la Cosmología del siglo XX ha sido crucial y está llena de maravillas. Pero este es el tema de otro relato o de varios relatos fantásticos.

 Las singularidades de la métrica de Schwarzschild corresponden a agujeros negros

Desde entonces, los matemáticos han trabajado para encontrar soluciones de estas complicadas ecuaciones no lineales con éxito notable pero parcial (Schwarzschild, Gödel, Kerr). En el momento actual excelentes grupos de matemáticos trabajan de manera intensa en producir los útiles para una teoría matemática completa y rigurosa. Pues según los matemáticos, hay mucho, demasiado trabajo aún por hacer...

 

Los autores quieren agradecer la ayuda de los profesores Juan García-Bellido y Fernando Chamizo en la revisión de este artículo.

Referencias

Referencias generales

Albert Einstein, Sobre la teoría de la relatividad especial y general, (Alianza Editorial, 2012).

(Esta es la traducción española de un libro publicado por Einstein en 1917. Aquí Einstein se propuso explicar sus teorías de la relatividad sin utilizar las matemáticas tan avanzadas que se necesitan para un tratamiento riguroso).

 A. Einstein, H.A. Lorentz, H. Minkowski, H. Weyl. The principle of relativity (Dover 1952).

Brian Greene, El universo elegante, (Crítica, 2006).

(Aunque explica para un público general la teoría de cuerdas, los capítulos introductorios sobre la Relatividad General y la mecánica Cuántica son fantásticos).

Stephen Hawking, Ellis, G. F. R. (1973): The Large Scale Structure of Space-Time.  (Cambridge University Press, 1973).

J. M. Sanchez Ron. El origen y desarrollo de la relatividad. (Alianza Universidad. Alianza Editorial, 1983).

Referencias matemáticas

Chamizo, Fernando, Seminario 2001 (una odisea en el espacio tiempo). https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/to2009/seminario0002/seminario0002.html

(Una excelente referencia en español para aprender Relatividad General).

G.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler. Gravitation. (W.H. Freeman and Company, 1973).

(La Biblia de la Relatividad General).

B. O'Neill. Semi-riemannian Geometry (With Applications to Relativity). (Academic Press, 1983).

(Referencia para adentrarse en la geometría diferencial que subyace a la Relatividad General)

 

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Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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Sobre este blog

En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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