Louis Nirenberg es uno de los matemáticos más influyentes del mundo en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales y ha ganado notoriedad mediática recientemente debido a la concesión del Premio Abel 2015, junto con su colega John Nash. La mención oficial les atribuye el premio "por sus notables y fecundas contribuciones a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales no lineales y sus aplicaciones al análisis geométrico". Se preguntará el lector no versado en la investigación matemática de qué estamos hablando y la respuesta no es fácil, pero son dos disciplinas fundamentales hoy día, tanto en la matemática pura como en la descripción matemática de numerosas teorías científicas. Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales (en adelante EDPs) son las grandes ecuaciones de la Física Matemática como la ecuación de Laplace, del calor o de ondas, teorías que florecieron en el siglo XIX, así como las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes que rigen el movimiento de los fluidos. El siglo XX nos ha legado la ecuación de Schrödinger en mecánica cuántica, las ecuaciones de la Relatividad General y una pléyade de otras ecuaciones cuyas propiedades ocupan los afanes de miles de matemáticos y otros científicos.

Louis y John son dos personalidades muy diferentes. Mientras la vida de John Nash ha sido marcada por el signo de un genio realmente inusual y la desgracia personal, que ha atraído la atención mediática, la vida de Louis es apenas conocida por el gran público, pero es no menos interesante para los profesionales, pues se inscribe dentro de la vida apacible del genio tranquilo, ese desiderátum que abrigan tantos matemáticos. Su trayectoria vital une profundos resultados matemáticos en diversas áreas con la sencillez, el encanto y la elegancia que son tan suyos. John fue un genio trágico, Louis es el genio al que desearíamos parecernos.

 

Los comienzos en Canadá

Louis (pronúnciese Lúi) Nirenberg nació en 1925 en Hamilton, Ontario, y creció en Montreal, lugares en que su padre fue profesor de hebreo. El idioma materno primario fue el yiddish, que Louis habló antes que el inglés. Uno de los profesores de hebreo de Louis, empleados por su padre, disfrutaba haciendo puzzles matemáticos, y así empezó una afición compartida en resolver puzzles. La afición a las matemáticas se puede manifestar en edad temprana de formas sorprendentes. Louis fue a una excelente escuela secundaria pública en Montreal y vivió en el seno de la comunidad judía de habla inglesa. Luego fue a la Universidad McGill para estudiar matemáticas y física. Nirenberg no fue reclutado durante la Segunda Guerra Mundial, ya que Canadá tenía una política de no reclutamiento de estudiantes de ciencias. No hay nada muy sorprendente, es el inicio de una vida tranquila. 

 Louis Nirenberg

 

De Canadá a Nueva York

Después de completar su licenciatura en McGill en 1945, encontró un trabajo de verano con el Consejo Nacional de Investigación de Canadá, donde conoció al físico Ernest Courant, hijo de Richard Courant, profesor en la Universidad de Nueva York. Ernest mencionó a Nirenberg que iba a Nueva York para ver a su padre y Louis le rogó que le pidiera consejo sobre dónde buscar trabajo de posgrado en física. Regresó con la invitación de Richard Courant para que Louis viniera a la Universidad de Nueva York (NYU) para hacer un máster en matemáticas, tras lo cual estaría preparado para un programa de física. Pero una vez que Louis comenzó a estudiar matemáticas en NYU nunca se cambió. Hizo una tesis con James Stoker titulada The Determination of a Closed Convex Surface Having Given Line Elements. Los dados ya estaban echados.

Llegamos así a un momento crucial en su vida. Rompiendo con la recomendación de que "un doctor reciente debería moverse a un entorno diferente", Richard Courant mantuvo consigo a sus mejores estudiantes, incluyendo a Louis Nirenberg, para crear su Instituto matemático de la NYU, el famoso Courant Institute, que se ha convertido en un referente mundial de la alta matemática, solo comparable al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en la Costa Este de los EE.UU. Louis fue primero postdoc y luego miembro permanente de la facultad. Allí se quedó toda su vida una de las personas más abiertas e internacionales de las matemáticas. Vivir para ver.

 

Nirenberg y Peter Lax

 

Sus matemáticas. Ecuaciones y geometría

El problema que Louis recibió de Stoker se llama "el problema de embedding". En términos generales, se enuncia así: dada una función de distancia definida en la esfera 2-dimensional, la pregunta es si se puede construir una superficie en el espacio tridimensional de manera que esta función de distancia coincida con la que se hereda de la distancia normal (euclídea) en el espacio R3. El gran matemático alemán Hermann Weyl había dado un primer paso significativo para resolver el problema en 1916, y Nirenberg, como estudiante, completó la construcción de Weyl. El trabajo consistió en resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales del tipo llamado "elíptico". Es el tipo de ecuaciones y de aplicación en que Louis Nirenberg ha estado trabajando preferentemente desde entonces. El progreso ha sido lento pero continuado en el tiempo y es hoy día enorme.

 

El poder y la belleza de las desigualdades

Los problemas interesantes en ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) no lineales rara vez pueden ser resueltos mediante fórmulas explícitas. La solución tiene que ser obtenida por algún tipo de aproximación, y el punto esencial es por lo general mostrar que el o los procedimientos de aproximación propuestos convergen en realidad a una solución. Una complicada maquinaria de topología y análisis funcional está disponible para probar dicha convergencia a condición que se cumplan ciertas estimaciones que permitan controlar la aproximación ("estimaciones" significa lo mismo que desigualdades).

 

Nirenberg como conferenciante en Jerusalén (1975).

 

Para las ecuaciones clásicas de equilibrio en mecánica de medios continuos, que se conocen como las ecuaciones de Laplace y Poisson, hay un "principio del máximo" clásico que proporciona la estimación necesaria. De hecho, se cita a Nirenberg diciendo, ya sea en broma o en serio, "I made a living off the maximum principle" ("me he ganado la vida con el principio del máximo"). Sin embargo, también hay muchos otros tipos de estimaciones que uno puede necesitar. Las más comunes son las estimaciones o desigualdades llamadas de "Sóbolev" en honor al gran matemático soviético Serguéy Sóbolev, las cuales contienen las integrales de las funciones en cuestión y de un cierto número de sus derivadas. El punto técnico central de la moderna teoría de EDPs consiste en demostrar las estimaciones más adecuadas en la forma más fuerte posible. Como se dice en inglés: Existence theorems come from a priori estimates and suitable functional analysis.

Puede resultar sorprendente que las desigualdades, y no las igualdades (o identidades) sean el meollo técnico de una teoría, pero ésta es la revolución matemática que estaba sucediendo. Cuando Nirenberg llegó a NYU, el investigador destacado más activo era Kurt Otto Friedrichs, quien influyó de manera decisiva en la futura carrera investigadora de L. Nirenberg. Friedrichs prefería las desigualdades a las identidades. Llevando adelante esa idea, Nirenberg es unánimemente reconocido como un "maestro mundial de las desigualdades". Durante muchos años, matemáticos de todas partes del mundo acudieron al Courant Institute para buscar su consejo sobre cuestiones en que intervenían desigualdades.


Matemático versátil

Louis Nirenberg ha aportado resultados importantes en varias áreas de las
matemáticas que usan las técnicas de estimaciones y EDPs.

-En Geometría Diferencial resolvió el problema de Weyl ya citado; el problema de Minkowski; las ecuaciones de las superficies mínimas,...

-En Análisis Real introdujo en 1961 junto con Fritz John el concepto de "función de oscilación media acotada", en abreviatura inglesa, espacio BMO, y su pariente VMO, útiles matemáticos que son hoy día de uso común. Hablaremos pronto de los operadores pseudodiferenciales, uno de sus temas tempranos.

-En Análisis Complejo podemos citar el teorema de Newlander-Nirenberg (1957), y el teorema con K. Kodaira y D. C. Spencer sobre la existencia de deformaciones de estructuras analíticas complejas, publicado en Ann. of Math. en 1958.

-En la teoría de EDPs propiamente dicha, que se puede considerar el centro de su actividad, las contribuciones estelares son múltiples: los principios del máximo de los que era maestro; diversas desigualdades o estimaciones a priori como la Gagliardo-Nirenberg o la John-Nirenberg; el estudio de las ecuaciones geométricas de Monge-Ampère, y de las clases más amplias de ecuaciones llamadas completamente no lineales (fully nonlinear equations); teoremas de simetría tan famosos como el método de los moving planes y los sliding methods, con artículos tan importantes como el llamado Gidas-Ni-Nirenberg (1979) y el artículo con Henri Berestycki en 1991. Asimismo, creó escuela el artículo con Haim Brezis sobre ecuaciones elípticas semilineales con exponentes críticos (1983).

-En EDPS de la física, es obligatorio citar su famosísimo resultado sobre la regularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes para los fluidos viscosos, que es uno de los grandes hitos de un problema que forma parte de la Lista Clay de 7 problemas abiertos para el siglo XXI. El hermoso artículo de 1982 es fruto de una colaboración con Luis Caffarelli (a quien ya hemos visto en este blog) y Robert Kohn, en el Courant Institute. Fue publicado en la revista Communications of Pure and Applied Mathematics, la revista del Courant, una de los faros en la publicación mundial que combina las ideas de matemática pura y aplicada de forma explícita.

-Y para concluir, resultados físico geométricos sobre fronteras libres y frentes de propagación.

En la próxima entrega comentaremos aspectos más personales de su vida investigadora, así como su gusto por los viajes y la amistad y su sentido optimista de la vida.

 

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Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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Sobre este blog

En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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