Riemann y las variedades riemannianas

La mañana del 10 de junio de 1859, en la Universidad de Gotinga, y ante un tribunal presidido por el gran Gauss, Bernhard Riemann pronunció la conferencia Sobre los fundamentos subyacentes a la geometría para obtener su habilitación como profesor universitario y que, de hecho, supondría el inicio de la visión moderna de la geometría.

Bernhard Riemann

Para ello, introdujo las variedades riemannianas que son objetos geométricos obtenidos tras pegar espacios euclídeos donde podemos realizar mediciones geométricas como ángulos o longitudes. Si nos imaginamos que somos cabezas de alfiler, una variedad riemanniana bidimensional es una superficie obtenida tras pegar trozos de plano. Por ejemplo, una esfera es uno de estos objetos pues, si pensamos en nuestro planeta y olvidándonos de accidentes geográficos, vemos que, localmente, alrededor de nuestra posición, percibimos un plano. Sin embargo, a nivel global, es (casi) una esfera. De hecho, casi cualquier objeto geométrico suave que podamos pensar es una variedad riemanniana. Por tanto, es un concepto de gran flexibilidad sobre el que Riemann y las sucesivas generaciones de geómetras han construido la geometría.

Una variedad riemanniana

La segunda gran aportación de Riemann aquella mañana fue liberarnos de la esclavitud de pensar los espacios geométricos siempre sumergidos en un espacio más grande sino que podíamos responder a las cuestiones geométricas de manera intrínseca, sin abandonar nuestro objeto geométrico. Finalmente, Riemann defendió que el concepto fundamental en geometría es el de curvatura que también es un concepto intrínseco como demostró Gauss mediante su Teorema Egregio.

El Teorema de embebimiento

Como hemos escrito, las variedades riemannianas son muy versátiles y, por tanto, pueden ser objetos bastante caprichosos. Sin embargo, los espacios ambiente de los que nos libró Riemann los comprendemos bastante bien por su simplicidad ya que sus propiedades se obtienen a partir del producto escalar estándar y podemos desarrollar la geometría euclídea, tan querida para nuestra intuición. Por eso, es bastante natural la pregunta que le hizo Warren Ambrose a Nash, un día en el MIT: ¿Es posible sumergir cualquier variedad riemanniana en un espacio ambiente de manera que se conserven las distancias?

Aunque bastante filosófica, es una pregunta muy importante porque se pregunta por las relación entre la visión extrínseca e intrínseca de la geometría y, en caso de ser cierta, nos permitiría comprender las variedades riemannianas desde una perspectiva más sencilla. Ya en 1873 Schläffi discutió la cuestión local que fue resuelta por Janet en el caso bidimensional y por Cartan en el caso general. La cuestión global no se pudo formular de manera precisa hasta 1912 cuando Hermann Weyl definió el concepto de variedad diferenciable (tal como lo entendemos en la actualidad) y que fue popularizado por Whitney a partir de 1930. En 1954, Nash dio una respuesta afirmativa a la cuestión (que pasó a conocerse con el nombre del Teorema de embebimiento) y a la vez asombró a la comunidad matemática por los métodos e ideas que utilizó.

Una ecuación diferencial en derivadas parciales es una ecuación donde aparecen derivadas que miden la tasa de cambio de la función que buscamos en términos de distintas cantidades (el tiempo y el espacio en la mayoría de los casos). El Teorema del embebimiento se reduce a encontrar la solución de un sistema de este tipo de ecuaciones. Para complicar las cosas son de tipo no lineal lo que hace todo increíblemente más difícil. La razón del asombro general fue que pocos hubieran apostado su dinero por una respuesta afirmativa ya que, filosóficamente, parece improbable que un objeto tan general como una variedad riemanniana no sea más que un subconjunto de un espacio ambiente y, más importante aún, este sistema de ecuaciones tiene más ecuaciones que incógnitas conque era más probable que el sistema fuera incompatible y no existiera la solución.

Embebimiento isométrico del toro plano en el espacio 3D (Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert)

Sin embargo Nash, en un primer paso, probó que toda variedad riemanniana se puede sumergir en algún espacio ambiente y su obra maestra consistió en determinar la dimensión más baja del espacio ambiente en el que podíamos realizar esta operación. Para ello, tuvo que resolver un problema de perturbación y esquivar la pérdida de diferenciabilidad que conlleva. Una vez hecho esto, seremos capaces de invertir el operador diferencial que nos aparece y mediante un método iterativo resolver nuestro problema. En nuestros días, este técnica se conoce con el nombre de teorema de la función implícita de Nash-Moser y se aplica a un amplio rango de problemas, incluyendo la solución de ecuaciones parabólicas e hiperbólicas no lineales o la prueba del Teorema KAM que se pregunta sobre la existencia de toros invariantes en sistemas hamiltonianos obtenidos por perturbaciones de sistemas integrables.

El Método Nash

A pesar de haber resuelto este problema por una apuesta, como reconoció en la Universidad de Chicago en 1955, la comunidad matemática internacional estaba convencida de que estaba asistiendo al nacimiento de una estrella. Por eso, en 1956 no le fue difícil ganar una generosa beca Sloan para pasar el curso académico en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y poder reflexionar sobre la teoría cuántica. Poder encontrarse a Gödel de camino al trabajo y gozar de una tranquilidad que hubiera hecho las delicias de los habitantes de La montaña mágica, no fueron suficientes para que Nash se instalara en Princeton. En cambio, prefirió vivir en el vértigo vertical de Nueva York donde alquiló un apartamento al lado del Instituto Courant.

Allí, Louis Nirenberg, a quien algunos describen como bajo, miope y amable, propuso a Nash la extensión a dimensiones superiores de las estimaciones de Hölder relativas a las ecuaciones elípticas de segundo grado con dos variables y coeficiente irregular. Después de consultar que la cuestión era lo suficientemente importante como para dedicar sus esfuerzos -siempre lo hacía-, Nash, siguiendo su costumbre; se dispuso a trabajar todos los días de la semana de diez de la noche a tres de la madrugada con una mezcla insuperable de entusiasmo y confianza en sí mismo y en sus intuiciones.

Louis Nirenberg

Empeñado en ser esencialmente original, prácticamente no leía para obtener los resultados por sus propios medios y nunca se desanimaba a pesar de algunas críticas y dudas que albergaban algunos colegas pues no confiaban en que alguien que no era especialista en el tema pudiera triunfar donde los expertos habían probado el sabor del desaliento. A pesar de la tendencia predominante en aquella época, Nash no tenía un programa coherente de investigación porque no veía las matemáticas como un gran edificio en el que lo importante era la estructura sino como un conjunto de problemas que había que resolver.

Y resolvió el problema que le planteó Nirenberg mediante un ingenioso rodeo pues como explica Sylvia Nasar en su magnífico libro Una mente prodigiosa, primero transformó las ecuaciones en derivadas parciales no lineales en ecuaciones lineales y luego se enfrentó a ellas usando métodos no lineales. Esto le valió calurosos elogios. El propio Nirenberg afirmó que sólo había conocido un genio en su vida y ése era Nash.

Llamando a las puertas del cielo

Estos resultados le colocaron como firme candidato para ganar la medalla Fields en 1958. El problema era que un desconocido matemático italiano llamado Ennio de Giorgi había demostrado las estimaciones de Hölder para el caso particularmente interesante de las ecuaciones elípticas antes que el propio Nash pero lo había publicado en una oscurísima revista de Turín y en italiano.

El comité para la medalla Fields de 1958 lo formaban H. Hopf, Chandrasekharan, Friedrichs, Hall, Kolmogorov, L. Schwartz, Siegel y Zariski. Una de las medallas ya estaba asignada a P. F. Roth por resolver en 1955 el famoso problema de Thue-Siegel que se preguntaba sobre la aproximación de números algebraicos por números racionales. Además, en 1952, probó que una sucesión que no tenga tres números en progresión aritmética tiene densidad cero, conjetura planteado por Erdös y Turán en 1935. Aunque las bases para la medalla Fields establecen que se podrán entregar entre dos y cuatro medallas en cada Congreso Internacional de Matemáticas, por alguna razón desconocida, sólo se entregaban dos medallas (ahora la Unión Matemática Internacional, que es quien organiza estos premios, casi exige al comité que se entreguen las cuatro medallas). Por tanto, el problema era elegir entre Nash y el francés René Thom.

René ThomK. F. Roth

Por cuatro votos a tres, el comité decidió premiar a Thom por la invención y desarrollo de la teoría del cobordismo en topología algebraica. Esta clasificación de variedades usaba la teoría de homotopía de manera fundamental y ha llegado a ser una ejemplo importante de una teoría cohomológica general. De todas formas, en 1958, Nash sólo contaba con veintinueve años por lo que no parecía urgente conceder el mayor honor de las matemáticas a alguien tan joven teniendo en cuenta que hasta los cuarenta años podría recibir el preciado galardón. Pero nadie sospechaba que la mente de Nash era como un barco a punto de naufragar.

El emperador de la Antártida

El principio del fin tuvo lugar un día de principios de febrero de 1959 en el que Nash entró en la sala común del MIT y anunció a quien quiso escucharle que alguna potencia extraterrestres -o quizá gobiernos extranjeros- se estaban comunicando con él a través de mensajes codificados en The New York Times. El diagnóstico era devastador: esquizofrenia paranoide y a partir de ese día, su vida se convirtió en una partida de pinball que nadie sabía si terminaría alguna vez.

Fue internado en el pabellón Bowditch del hospital McLean donde se encontró con el famoso poeta Robert Lowell y en el Hospital Estatal de Trenton donde, maldita ironía, no era más que un número y donde cinco días por semana, nada más despertar, le torturaban administrándole una inyección de insulina que le dejaba en coma hasta la tarde pues creían que si se privaba al cerebro de azúcar, las células que trabajaban de forma defectuosa morirían. También, después de una recaída, tuvo que ser internado a la fuerza en la Clínica Carrier.

 Hospital McLean

Entre 1967 y 1970 volvió a la casa de su madre en Roanoke donde se dedicaba a vagar silbando por la ciudad y por su soledad, como un emperador en la Antártida. De hecho, esta metáfora -tan bella como dolorosa- fue lo que convenció a sus colegas de que estaba gravemente enfermo pues rechazó una cátedra en la prestigiosa Universidad de Chicago porque iba a ostentar este cargo.

Una vez le preguntaron a Nash cómo alguien tan racional como él había podido tomar en serio ideas tan delirantes. La respuesta, simplemente demoledora: porque acudían a él del mismo modo en que lo hacían sus ideas matemáticas. Desde 1970 a 1990 vivió en Princeton como huésped en casa de su ex-mujer Alicia, una mujer excepcional que consiguió cuidar a su marido enfermo, a un hijo con la misma enfermedad que su padre y ganar algo de dinero para poner algo de comida encima de la mesa.

En estos años, tuvo una vida muy tranquila y sintió el afecto de sus antiguos colegas y amigos de Princeton que siempre intentaron ayudarle, emocional y económicamente, aunque el resto de la comunidad matemática creyera que había muerto pues no hay bala más eficaz que el olvido.

Una persona normal

Como Sísifo, un enfermo de esquizofrenia paranoide parece condenado a cargar con la pesada carga de su enfermedad hasta el final pues se sigue considerando una enfermedad degenerativa que conduce a la demencia. Sin embargo, a finales de los años ochenta, Nash fue despertando y volviendo al mundo real. Era un caso absolutamente excepcional: una persona que se había recuperado de manera espontánea de la esquizofrenia. Mientras que algunos médicos intentaron entender qué había podido hacer para vencer a su trágico destino, otros lo veían como un milagro viviente pero poco a poco fue haciendo una vida normal e incluso volvió a investigar.

Nash, en la actualidad

Cuando se habla de Nash se instala una espesa tristeza en la habitación por lo que pudo haber sido y no llegó a ser. Sin embargo, esta es una idea equivocada pues el 25 de marzo de 2015, John Forbes Nash Jr. recibió -junto al matemático canadiense Louis Nirenberg- el Premio Abel de matemáticas que premia trayectorias excepcionales en matemáticas y que se puede ver como el equivalente del Premio Nobel. Es un premio que hace justicia con sus matemáticas y le reconoce como un matemático esencialmente original y especial, que es lo que de joven siempre quiso ser.

Sin embargo, puede que ahora, a los 87 años, el mayor premio sea mirarse todas las mañanas al espejo y no ver casi a un cadáver como a sus cuarenta años sino a una persona en equilibrio con la vida.

Por David Fernández 

 

Para saber más...

B. Andrews, Notes on the isometric embedding problem and the Nash-Moser implicit function theorem, Surveys in analysis and operator theory (Camberra, 2001), Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat. Univ., 40, Austral. nat. Univ., Canberra, 2002, 157-208.

J. Milnor, John Nash: Una mente maravillosa, La Gaceta de la RSME, 5(3) (2002), 559-587.

S. Nasar, Una mente prodigiosa, Mondadori, Barcelona, 2001.

 

Recursos audiovisuales...

Como hemos explicado, Nash probó que el teorema de embebimiento era cierto dando un argumento existencial pero no pudo visualizarlo o dar una descripción explícita de él. Usando la teoría de integración convexa (desarrollada por M. Gromov —otro Premio Abel— en la década de los setenta y que bajó la dimensión del espacio euclídeo de llegada), se puede describir un embebimiento isométrico (es decir, que conserva las distancias) del toro plano en el espacio euclídeo tridimensional. En el siguiente video explican el proceso:

https://www.youtube.com/watch?v=_HcDyVEnJMA

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Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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