A Freeman Dyson, profesor del Insituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE.UU.) y una de las leyendas vivas de la Física, le gusta decir que existen dos clases de matemáticos: las ranas y las águilas. Mientras que las ranas tienen una gran habilidad técnica que les permite resolver problemas endiablados y exprimir cada concepto matemático, las águilas son felices estableciendo relaciones entre diferentes campos de las matemáticas y traduciendo nociones y técnicas de un área a otra. Sin embargo, en los cambios de siglo, además de las ranas y águilas, se necesitan visionarios con una capacidad casi sobrehumana para imaginar el futuro.

Freeman Dyson París, 8 de agosto de 1900

Aquel 8 de agosto de 1900, pocos de los asistentes al II Congreso Internacional de Matemáticos imaginaban que iban a ser testigos de un acontecimiento histórico. Se agolpaban en un aula de La Sorbona, universidad donde Descartes (un águila) entrevió su Discurso del Método, la misma desde la que años después saldrían los soñadores del mayo del 68 a buscar la playa bajo los adoquines cuando, en realidad, se buscaban a sí mismos. En esa mañana calurosa, el mejor matemático de su tiempo, David Hilbert, se disponía a desvelar los caminos que seguirían, en su opinión, las matemáticas del siglo que acababan de inaugurar. Para ello, planteó 23 problemas, muchos de los cuales han servido como marcas para medir el progreso de las matemáticas.

La Sorbonne

Si bien algunos no tienen mucho sentido desde nuestra perspectiva actual (la axiomatización de la Física era el número cuatro) o algunos se resolvieron fácilmente (por ejemplo, el tercero), transcurridos los años, se puede afirmar que Hilbert dio muestras de un don casi sobrenatural para dibujar un camino apasionante, como si el futuro le susurrara al oído. No debemos olvidar que junto a Henri Poincaré fue quizás el último ser humano que consiguió albergar todas las matemáticas de su tiempo en su cabeza. Cuando todavía resonaba en el aula la última frase de su discurso ("Debemos saber. Sabremos"), pocos se dieron cuenta de que acababan de asistir a un momento histórico. Probablemente ni él mismo. Y es que los visionarios no se reconocen a primera vista pues aún tienen que burlar el desgaste del tiempo.

 El visionario David Hilbert

 ICM 2014

Más de un siglo después, se siguen celebrando los Congresos Internacionales de Matemáticos, para premiar a los jóvenes genios que han firmado trabajos extraordinarios, pero también con el secreto objetivo de entrever por dónde discurrirán los caminos de las matemáticas y, entre todos, otear el horizonte. Aunque, en los últimos tiempos los visionarios escaseen (o sólo sea una consecuencia del pesimismo presente), del 13 al 21 de agosto del pasado año se celebró en Seúl (Corea del Sur) el 27 Congreso Internacional de Matemáticos.

Leí una vez que el Congreso Mundial de Filosofía se celebró en Las Vegas, como si tuvieran la esperanza de sorprender a la Metafísica contando cartas en una mesa de blackjack. Algunos argumentaban que Las Vegas es la mejor ciudad para reflexionar sobre el posmodernismo. Seúl también es una ciudad posmodernista, con su tensión constante entre lo tradicional y lo moderno, entre el kimchi y el silicio. Casi me parece una metáfora de los tiempos que nos han tocado vivir como matemáticos que este ICM se celebrara en un centro comercial mastodóntico, el COEX en el distrito financiero de Gangnam, que apenas contrastaba con los rascacielos que lo rodeaban, hechos de vidrio, neones y ambición, como si nadie debiera olvidarse que el matemático tiene que estar al servicio de la sociedad y preocuparse por la potencial aplicación de su trabajo.

 COEX

Estos Congresos se celebran cada cuatro años y reciben una gran atención mediática pues en ellos se entregan las Medallas Fields consideradas -casi unánimemente- como los Premios Nobel de las Matemáticas. Estos galardones fueron creados en 1932 por el filántropo (y matemático) John C. Fields y pretenden reconocer el trabajo realizado pero, al mismo tiempo, buscan servir de estímulo para conseguir nuevos logros. Esto quizás explique por qué los galardonados tienen que ser menores de 40 años, condición que despierta alguna suspicacia y más polémica pero que se ha mantenido hasta la fecha. En Seúl, los galardonados fueron (en orden alfabético) Artur Avila, Manjul Bharghava, Martin Hairer y Maryam Mirzakhani, a quienes se les puede calificar de águilas porque, aunque han probado algunos resultados perseguidos durante años por los especialistas, disfrutan derribando las barreras imaginarias que los mortales establecemos entre los distintos campos de las matemáticas, utilizando técnicas e ideas de otras áreas e incluso disciplinas (como la Física) para conseguir sus objetivos.

Algunas reflexiones

Una tendencia que se ha hecho patente con estas medallas Fields es la creciente deslocalización física que se observa en las matemáticas. Aunque los galardonados pertenecen a reconocidísimas instituciones (Jussieu/IMPA, Princeton, Warwick, Stanford), sus orígenes son diversos. Por ejemplo. Mirzakhani cursó sus estudios universitarios en la Sharif University of Technology de Teherán (aunque se doctoró en Harvard) mientras que Avila se doctoró en Brasil donde sigue trabajando. Además, conviene no olvidar que aunque Bharghava es canadiense, creció en una familia de emigrantes del Punjab que se enorgullece de sus orígenes indios. También, hace cuatro años, el vietnamita Ngô Bào Châu fue premiado con la Medalla Fields por sus trabajos fundamentales sobre el Lema Fundamental en el Programa de Langlands, trabajo que realizó principalmente en Francia. A la vista de estos ejemplos, podríamos concluir que el talento excepcional se encuentra repartido en todo el mundo, pero hay que trabajar para encontrarlo y hacerlo florecer. Quizás por ello, parece que pocos centros reúnen las condiciones óptimas para tan delicada tarea. 


Una foto para la Historia

También deberíamos señalar que los lugares elegidos para la celebración de los ICMs responden a una estrategia para hacer visible las matemáticas en lugares donde es probable que pueda encontrarse el futuro de la disciplina, como India (2010), Corea del Sur (2014) o Brasil (2018). En Corea, un país donde la educación es un asunto de estado que hace perder o ganar elecciones, sorprendía ver el fervor con el que asistían chavales de unos dieciséis años a algunas charlas, como si en el escenario no estuviera el casi novelesco Jim Simons sino Justin Bieber. Pero sin duda, este ICM pasará a la historia porque ha sido testigo de la entrega de la Medalla Fields a una mujer, Maryam Mirzakhani. Estamos seguros de que este galardón también constituye un premio para el fantástico progreso protagonizado por las mujeres matemáticas durante el siglo XX y que no será la última medalla Fields que premie a una mujer pues hay muchas matemáticas que se lo merecen, no por su sexo ni por un sentido de justicia retroactivo, sino por su trabajo y su talento prodigiosos.

 Maryam Mirzakhani recogiendo su Medalla Fields de manos de la presidenta de Corea Park Geun-Hye

Por último, éste fue el último congreso de Ingrid Daubechies como presidenta de la Unión Internacional Matemática (IMU, en sus siglas en inglés). Quien fuera la primera catedrática de matemáticas en Princeton y universalmente conocida por su ondícula, función importantísima para la técnica de compresión de imágenes, ha protagonizado un mandato caracterizado por la ilusión, el entusiasmo y el buen hacer. Esperamos que Daubechies siga manteniendo su altísimo nivel investigador, en la frontera entre la matemática pura y aplicada, que le ha llevado -por ejemplo- a colaborar con museos como el Prado para identificar falsificaciones y autorías de cuadros mediante técnicas matemáticas.

Ingrid Daubechies 

Artur Avila

Como buen brasileño, Artur Avila (Río de Janeiro, 1979) parece programado casi genéticamente para disfrutar del lado soleado de la vida. Sin embargo, lo que es una característica totalmente individual es su extraordinario don para las matemáticas. Y él lo sabe. Por eso no pierde su tiempo en hacer papeleo (se lo hace su madre) ni lo pone en peligro subiéndose a una bicicleta en París. Un París que Cortázar convirtió en una Rayuela sin fin donde buscar a la Maga mientras que Avila lo ha transformado en un parque de atracciones en el que encontrar el próximo problema al que aplicar su enfoque casi inocente, su habilidad técnica y el trasvase de ideas entre campos. Con la naturalidad con la que Picasso dibujaba palomas o Gómez de la Serna hablaba en greguerías, Avila resuelve problemas por la única razón de que es lo que le hace feliz. Eso, y escuchar el rumor quedo de las olas en la playa de Copacabana, claro.

Artur Avila

El trabajo de Artur Avila se encuentra en la interfase entre el análisis y los sistemas dinámicos, dos disciplinas matemáticas que aunque distintas se hallan próximas. Dado un sistema dinámico cualquiera, podemos estudiar la trayectoria de un punto concreto, es decir, el camino que va dibujando según transcurre el tiempo. De esta forma, algunas órbitas serán estables mientras que otras llegarán a ser caóticas, generando cuestiones interesantes sobre su comportamiento a largo plazo. Los matemáticos se dieron cuenta de que un sistema dinámico puede ser o bien regular -si las trayectorias llegan a a ser estables- o bien estocástico, lo que significa que las trayectorias exhiben un comportamiento caótico que puede ser modelizado usando las herramientas del análisis estocástico. Aunque esta dicotomía fue observada hace tiempo y descrita en muchos casos especiales por ilustres matemáticos, no fue hasta el trabajo realizado por Avila, Welington de Melo y Mikhail Lyubich cuando fue entendida a un nivel más profundo, pues demostraron que en la clase fundamental de los llamados  sistemas dinámicos unimodales, cualquiera de estos sistemas es o bien regular o bien estocástico.

Una mariposa de Hofstadter

Además, las técnicas de los sistemas dinámicos sumadas a algunas ideas provenientes de la Física, también permitieron a Avila resolver un problema clásico de análisis. Era bien conocido que el espectro de energía de un electrón moviéndose bajo un campo magnético extremo presenta un comportamiento fractal, describiendo una mariposa de Hofstadter Más aún, los físicos se dieron cuenta de que para ciertos valores en la ecuación de Schrödinger, este espectro de energía parecía ser el conjunto de Cantor (otro fractal). Por eso, Marc Kac -con su proverbial jovialidad- ofreció diez martinis a quien pudiera determinar si el espectro de un operador de Schrödinger específico, conocido como el operador casi-Mathieu, es el conjunto de Cantor. Avila -junto a Svetlana Jitomirskaya- contestó a la pregunta de manera negativa y probó que los operadores generales de Schrödinger no exhiben este comportamiento fractal en la transición entre los diferentes regímenes.

Manjul Bharghava

En esa época en la que todos los días tienen la forma de un balón de baloncesto y todos los sueños se cumplen, Manjul Bharghava (Canadá, 1974) quería ser montañero. Y a fe que lo ha conseguido. Las montañas matemáticas que Bharghava escala son incluso más desafiantes y resbaladizas que la cara norte del K2. Sin embargo, parece tener un sexto sentido para descubrir el camino más fácil por el que ascender y la perspectiva adecuada para resolver el problema en cuestión. Como si tuviera una brújula prodigiosa que no funcionara gracias al campo electromagnético sino siguiendo el ritmo de un tambor diferente, es capaz de poner orden en el caos, de ver las matemáticas ocultas en los poemas escritos en sánscrito o en la tabla, un instrumento de percusión tradicional indio que toca como un virtuoso. La vida de Bharghava fluye en el interior de un triángulo en cuyos vértices se hallan las matemáticas, la poesía y la música y del que ha logrado encontrar el equilibrio pues, a fin de cuentas, estas tres actividades nos permiten "expresar verdades sobre nosotros mismos y sobre el mundo que nos rodea" como le suele gustar recordar a quien un día fue un niño que sólo quería ser montañero.

Manjul Bharghava tocando la tabla

Manjul Bhargava investiga en teoría de números y disfruta de una plaza de catedrático en la Universidad de Princeton. Bhargava -en su tesis y con la ayuda de un cubo de Rubik- encontró una manera de mejorar el trabajo del gran Gauss sobre las leyes de composición de formas cuadráticas binarias y que lleva a leyes de composición para formas de grados más altos.

Una pléyade de curvas elípticas

Además, el comité Fields ha premiado sus trabajos sobre curvas elípticas que son importantes pues permiten pasar de la teoría de números a la geometría, convirtiendo ecuaciones en curvas. Por tanto, en vez de encontrar soluciones a las ecuaciones en el cuerpo de los números racionales, con este enfoque tratamos de localizar puntos cuyas coordenadas sean racionales dentro de la curva. En general, este problema es difícil pues lejos de saber cuantificarlos, ni siquiera sabemos si existen. Para ello, se han intentado enfoques alternativos, principalmente, el estudio de invariantes como el rango. Este número entero es cero si y sólo si la curva elíptica tiene un número finito de puntos racionales. Bhargava y sus colaboradores demostraron que una proporción positiva de estas curvas tiene rango 0 (de hecho, el 16,5% ). Lo fascinante es que este tipo de resultados nos permiten concluir la validez de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, uno de los problemas del milenio del Instituto Clay. Quizás el resultado más espectacular de Bhargava es que ha conseguido probar que esta conjetura es cierta para, al menos, el 66,48% de las curvas elípticas y actualmente está trabajando para incrementar este porcentaje.

Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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Sobre este blog

En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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