Martin Hairer

La cara de Martin Hairer (Austria, 1975) es de esas que no se olvidan pues parece esculpida por Giacometti o pintada por un Juan Gris inspirado. Aunque sorprende por su estatura, los que le conocen destacan de él su gran sentido del humor y su normalidad. Su trayectoria parece ser una lucha contra los mitos y estereotipos y estar edificada sobre su gran curiosidad y un don para estructurar en su cabeza todo lo aprendido. Cuando sólo tenía catorce años, desarrolló un programa para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y a los dieciséis programó un editor de audio, Amadeus, que sigue reportándole alegrías y beneficios.

 Martin Hairer

Precisamente, la herramienta fundamental de este tipo de programas son las ondículas (wavelets en inglés) que fueron la pieza que le faltaba para completar su trabajo fundamental; sus estructuras de regularidad sorprendieron a la comunidad pues consiguieron dar sentido matemático a algunas ecuaciones de la Física. Lorenzo Zambotti ha comparado el trabajo de Hairer con el Señor de los anillos pues ha creado un nuevo mundo. Quizá sea mejor decir que nos ha legado un Macondo en el que, por primera vez, somos capaces de aprehender parte de lo que nos rodea, no con palabras sino con matemáticas.

Martin Hairer es catedrático en la Universidad de Warwick donde se dedica a las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas (SPDE). Newton consiguió desarrollar la Física y las Matemáticas lo suficiente como para construir la base científica de un mundo caracterizado por el determinismo y donde era posible realizar mediciones exactas. Para ello, inició el estudio de ecuaciones diferenciales que modelizan algún sistema físico determinista. Mas, podemos encontrar procesos que poseen diversos grados de aleatoriedad como la cotización de una acción en la bolsa o el movimiento browniano que precisan de otro tipo de herramientas para estudiarlos: las ecuaciones diferenciales estocásticas.

 Movimiento browniano de partículas coloidales

El trabajo de Hairer pretende dar un significado matemáticamente riguroso a muchas SPDEs que surgen en la Física. Para ello, la idea es regularizar o suavizar la ecuación que queremos resolver -y los objetos matemáticos que involucra- y obtener así una serie de ecuaciones cada vez menos malas hasta obtener, como resultado de este proceso, una ecuación diferencial que tiene sentido desde un punto de vista matemático y que sabemos resolver. Físicamente, estamos considerando que los efectos aleatorios ocurren a una escala pequeña pero no infinitesimal y podemos emplear técnicas clásicas. El problema es que, para obtener una solución de la ecuación de partida, hay que desandar el camino e ir estropeando gradualmente la solución hallada en este escenario favorable y, en general, al final de este proceso no obtendremos una solución de nuestra ecuación. Hairer, a partir de la ecuación KPZ, ha desarrollado una teoría general (la ahora famosa Teoría de estructuras de regularidad) que hace que las soluciones de esta sucesión de modelos intermedios converjan a una solución de la SPDE.

La ecuación KPZ modeliza, por ejemplo, la interfase que se forma a lo largo del tiempo cuando prendemos fuego a una hoja de papel.

Su gran idea ha sido darse cuenta de que si bien los polinomios son adecuados para aproximar funciones "buenas", no son apropiados para describir estas soluciones tan irregulares. Por eso, la teoría de Hairer nos da una caja de herramientas más amplia que contiene objetos matemáticos (ondículas o wavelets en inglés) que, teniendo en cuenta las propiedades de cada problema, permiten describir la solución buscada. Es importante resaltar que, como el propio Hairer reconoce, la física (en especial la teoría cuántica de campos) ha sido una motivación para él e incluso ha desarrollado un lenguaje pictórico para entender las SPDEs que remiten a algunos enfoques de la física matemática.

 La ondícula de Daubechies

Maryam Mirzakhani

La hija de Maryam Mirzakhani (Irán, 1977), que apenas tiene tres años, piensa que su madre es pintora. No ayuda que Mirzakhani se pase las horas dibujando superficies de Riemann y billares poligonales en enormes sábanas de papel que cubren casi por completo el suelo de su estudio. Sin embargo, su madre piensa que su forma de hacer matemáticas se asemeja a la labor de un escritor, como si las superficies de Riemann fueran los personajes de una novela negra en la que ella es la única que sabe cómo evoluciona la historia y cuáles son las pistas que hay que seguir. Esto lo consigue gracias a una rara mezcla de tenacidad, pasión y optimismo, y a sus orígenes iraníes que le hicieron ser consciente de cuál era su lugar en el mundo. En su cabeza aún resuenan las palabras de la directora de su instituto -una de las personas que más le han influido a la hora de forjar su carácter- "Tú puedes hacerlo, incluso aunque seas la primera". Aunque, la verdad, más que unas palabras de ánimo, la frase se ha convertido en una premonición. O en un mantra.

Maryam Mirzakhani

Maryan Mirzakhani es catedrática en la Universidad de Stanford y los problemas en los que trabaja están relacionados con estructuras geométricas y sus deformaciones. En especial, sus investigaciones se centran en superficies de Riemann (por ejemplo, las que se obtienen tras pegar varios flotadores). Probó que el número de curvas geodésicas cerradas que no se cortan a sí mismas que pueden trazarse sobre una superficie de Riemann –en el globo terrestre, los meridianos y los paralelos- crece polinomialmente en función del número de agujeros de la superficie. La clave es relacionar este tipo de curvas con volúmenes en espacios de moduli que se pueden ver como espacios geométricos que parametrizan una cierta clase de objetos de interés. Parte del trabajo de Mirzakhani se centra en desarrollar técnicas que le permitan estudiar estos objetos.

Mirzakhani en pleno proceso creativo

Otra de sus líneas de investigación son los billares poligonales que surgen al modelizar sistemas físicos y que son una clase especial de sistemas dinámicos. Si partimos de un billar cuadrado, observamos que las trayectorias están formadas por segmentos de recta. La idea es que nos podemos olvidar del resto y ver cada trocito de recta en un cuadrado. Ahora, recomponemos cual puzzle hasta obtener trayectorias rectas. El último paso consiste en ver estas rectas como caminos en una superficie de Riemann y estudiar sus propiedades mediante el espacio de móduli. De esta forma, demostró que las geodésicas complejas tienen un comportamiento regular pues se pueden pensar en términos de polinomios, es decir, pueden ser abordado usando técnicas de geometría algebraica.

Las trayectorias en un billar poligonal se pueden ver como trayectorias en una superficie de Riemann (en este caso un toro) que, a su vez, es un punto del espacio de móduli correspondiente.

 

El papel de España en el ICM

Es importante destacar que en estos tiempos de crisis y tribulaciones presupuestarias, la participación española en este ICM se ha mantenido en los parámetros usuales. Exceptuando el ICM celebrado en 2006 en Madrid en el que un español, Juan Luis Vázquez de la Universidad Autónoma de Madrid, fue conferenciante plenario, la participación española se ha mantenido dentro de unos niveles más bien discretos.

 Marc Noy

El profesor de la Universidad Politécnica de Cataluña y experto en teoría de combinatoria de números, Marc Noy, impartió una charla invitada en la sección de Combinatoria titulada "Random planar graphs and beyond" en el que repasó algunos resultados relacionados con la enumeración de grafos planares y propiedades de grafos planares aleatorios. Desde este blog recomendamos la lectura del artículo aparecido en los Proceedings del congreso debido a su claridad expositiva y por cómo se van introduciendo, desarrollando y entrelazando los distintos conceptos; en especial cómo la teoría de enumeración de aplicaciones (introducida por Tutte en la década de los sesenta motivado por el Teorema de los Cuatro Colores) se puede usar para contar grafos planares sin un embedding y las consecuencias de este hecho.

 A partir de un mapa podemos construir un grafo; cada uno de los vértices representará una región del mapa y dibujaremos una arista si dos regiones comparten un segmento de frontera

Además, se presentaron un gran número de charlas breves y pósters que quizá cartografíen la situación actual de la investigación española en matemáticas. Estas presentaciones ponen de manifiesto la variedad de temas e intereses de los investigadores patrios (Álgebra, Teoría de Números, Geometría Algebraica y Compleja, Geometría, Teoría de Lie y Generalizaciones, Análisis y sus Aplicaciones, Sistemas Dinámicos y EDOs, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Física Matemática, Combinatoria y Análisis Numérico) y quizás un hecho que podamos (y debamos) subrayar es la dispar procedencia de los investigadores pues aparte de las grandes instituciones de Madrid y Barcelona, pudimos encontrar y conversar con matemáticos procedentes de: Granada, Santiago de Compostela, Almería, Murcia, Extremadura, Cartagena, Vigo, País Vasco o la Universidad de las Islas Baleares, aparte de otros participantes venidos de Zaragoza u Oviedo, por citar sólo a algunos.

Vicent Caselles

También convendría señalar la casi testimonial presencia de españoles en los comités de decisión, carencia que sin duda se traduce en una menor visibilidad de los matemáticos españoles en este gran escaparate que son los ICMs. Por ejemplo, en los comités que deciden las charlas invitadas, sólo encontramos a dos españoles; a Vicent Caselles (por desgracia recientemente fallecido) en la sección de Matemáticas en Ciencia y Tecnología y a Tomás Recio en la de Educación Matemática y Popularización de las Matemáticas. Además, tampoco se nos olvida que Manuel de León cumplió su mandato como miembro del Comité Ejecutivo de IMU, lo que tampoco es una buena noticia para las matemáticas españolas, necesitadas de personas con ideas y determinación para llevarlas a cabo en los puestos de influencia y decisión.

Por último, estamos seguros de que las nuevas generaciones darán lo mejor de sí e imaginarán hermosas teorías y escribirán valiosos artículos que les permitirán, por méritos propios, ocupar un papel protagonista en futuros ICM. Y en eso estamos... 

David Fernández

 

Referencias

Para profundizar en el trabajo de los medallistas Fields, recomendamos las notas de prensa preparadas por IMU y que se pueden encontrar aquí. Los retratos de los medallistas Fields se han confeccionado a partir de los fantásticos reportajes aparecidos en Quanta Magazine y que se pueden encontrar en esta página.

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Juan Luis Vázquez y David Fernández
Juan Luis Vázquez y David Fernández

Juan Luis Vázquez Suárez es catedrático de matemática aplicada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Es Premio Nacional de Investigación Julio Rey Pastor (2003), miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y doctor Honoris Causa por la Universidad de Oviedo.
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David Fernández es investigador post-doctoral en el Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) en Río de Janeiro. Su área de investigación es la geometría algebraica no conmutativa.
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Sobre este blog

En este blog sobre la República de las Matemáticas hablaremos de matemáticos con vidas interesantes, teoremas que anuncien cambios en la forma de pensar y conexiones que cartografíen las distintas áreas de las matemáticas. Aspiramos a combinar su eterno encanto con las sorprendentes novedades pues quizás estemos viviendo la edad de oro de las matemáticas, cuyas aplicaciones están presentes por doquier, y sería bonito poder explicarlo. Y eso vamos a intentar.

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