Hotel Hilbert, donde la parte es igual al todo

13/11/2018 2 comentarios
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Capítulo I

 

- Hotel Hilbert, dígame.

- Buenos días, ¿es el hotel infinito?

- Sí señor, habitaciones desde el uno hasta el infinito. ¿En qué le puedo ayudar?

- Buenos días. Soy Juan Cántor, de la agencia de viajes Fog. Me han dicho mis compañeros que les llame porque sólo ustedes pueden ayudarme. Resulta que tengo un cliente que necesita una habitación para el fin de semana que viene, para dos noches, y como sabrán es la final del mundial de badminton. Parece que no queda ninguna habitación libre en ningun otro hotel. ¿Tienen ustedes alguna? Digame que sí, por favor, es mi primer día y no quiero empezar con mal pie.

Hubo unos segundos de silencio.

- Primero dejeme darle la bienvenida, señor Cántor. Su agencia de viajes es uno de nuestros más antiguos clientes y esperamos que esa relación pueda continuar con usted al mando.

- Muchas gr...

No pudo terminar al ser interrumpido por el recepcionista.

- Permítame decirle que actualmente todas nuestras habitaciones están ocupadas. Han acudido un número infinito de clientes para presenciar el torneo, por lo que por primera vez en mucho tiempo tenemos colgado el cartel de "completo". Sin embargo, ...

Esta vez fue el recepcionista el interrumpido.

- Ay, qué desgracia, qué desgracia. Justo ahora me tenía que pasar. Este cliente es muy importante.

- Le decía, señor Cantor, que aunque el hotel esté completo no tiene usted que preocuparse. En nuestro hotel nunca se queda un cliente fuera. Recuerde nuestro lema: "Hotel Hilbert, donde la parte es igual al todo". De nuevo un momento silencio.

- ¿Eso significa que va a sacar a uno de sus clientes para alojar al mío?

- ¡Por supuesto que no! Eso no sería profesional ni necerasio. ¿Conoce usted el concepto de isomorfismo, señor Cantor?

- ¿Eso es algo francés? Lo siento, estoy especializado en alemán, inglés e italiano, pero francés no hablo.

- No se preocupe. Le explico la solución que vamos a usar para resolver su problema. Ahora mismo mandaré un mail a todos nuestros clientes comunicándoles que se les cambia a la habitación contigua. Así el que iba a ocupar la primera habitación irá a la segunda, el de la segunda a la tercera, y así sucesivamente. De este modo la habitación número uno queda desocupada y puede ser usada por su cliente.

- ¿Pero eso no dejará a un cliente sin habitación? - Preguntó Cantor.-

- ¿Qué cliente, si no es mucho preguntar?

De nuevo hubo un silencio, aunque este duró casi medio minuto. Fue el recepcionista el que comenzó a hablar.

- Mire, tengo aquí un esquema que hice para un anterior cliente explicándolo, se lo envío. Como verá, el hotel está ocupado, y su cliente, el muñeco verde, tiene que esperar fuera. Estas flechas de arriba representan dónde va cada cliente. ¿Me sigue?

 

figura1

 

- Sí, claro, claro.

- Entonces la primera habitación quedará libre para su cliente, y ningún cliente se quedará sin habitación al ser el hotel infinito. Mire este otro esquema.

Figura 2 

- ¿Entonces me puede confirmar la reserva de mi cliente?

- Por supuesto, ya está hecho. Un saludo.

- Un saludo.

 

 

Capítulo II

- Hotel Hilbert, dígame.

- Buenos días, soy Juan Cántor, de viajes Fog.

- Buenos días señor Cantor. Hace tiempo que no recurre a nuestros servicios, desde el mundial de badminton si no recuerdo mal. 

- Sí, sí. El cliente salió muy contento. Por cierto, imagino que sabrá que a partir de mañana comienza el festival de cine independiente matemático. Es una locura, ya está todo ocupado de nuevo. Además, Nn se va a creer lo que ha ocurrido. Me han encargado que aloje a unos clientes y como todo está ocupado he pensado: "Esto me lo arregla el hotel Hilbert, donde todo es parte de nada". -Paró un momento a reflexionar sobre el lema.- Bueno, que ustedes me dijeron que siempre tienen habitaciones por el isomorfismo ese. Por cierto, ya busque que significa esa palabra y se equivocaba usted, no es francés, es algo de matemáticas... - Se oyó un leve suspiro a través del teléfono. - Pero lo que ocurre ahora es impensable, no creo que ni siquiera ustedes puedan ayudarme. Sólo se me ocurre que podría pasar si tuvieran ustedes el hotel vacío, pero eso es muy improbable siendo la fecha que es. 

- Bueno, de hecho el hotel está ahora lo contrario a vacío. Volvemos a estar completos. Pero créame si le digo que muy complicado tiene que ser su problema para que no se lo podamos resolver. Si me lo puede explicar veremos qué se puede hacer.

- Ay señor, completo de nuevo. La otra vez pudieron solucionármelo porque era un sólo cliente, pero esta vez me voy directo al paro. Ay, qué ofuscación. Entiendo que si tuviera diez o mil clientes podríamos hacer lo que hicieron antes varias veces, no se crea que no tengo inteligencia lógico-matemática, aunque siempre he sido más de la corporal-cinestésica. Bueno, voy al grano que me lío. ¡Resulta que ahora viene un autobús con infinitos clientes para que les aloje! Comprenderá mi problema. No puedo esperar a que haga usted lo que hizo la otra vez infinitas veces, les tengo que comunicar su número de habitación ahora. Ay, que ofuscación.

- Le recomiendo que se relaje, señor Carnot. Por cierto, ¿sabe de dónde viene ese apellido? No es muy usual, y curiosamente tiene relación con el problema al que nos enfrentamos.

- Ay, que desesperación. 

- Bueno, no es importante. Afortunadamente, señor Cantor, nuestro lema es: "Hotel Hilbert, donde la parte es igual al todo". Puedo recolocar a todos nuestros clientes liberando un número infinito de habitaciones, de modo que usted pueda ya mismo comunicarle a sus clientes su número de habitación. Es bastante fácil. Le diré a todos nuestros clientes que se cambien a la habitación cuyo número es el doble de la habitación en la que se encuentran. Así el de la habitación uno irá a la dos, el de la dos a la cuatro, el de la tres a la seis, y así sucesivamente. Entenderá que esto nos deja libre todas las habitaciones impares, que como comprenderán son infinitas. Mire, mientras hablamos le he hecho otro diagrama. He dibujado sus clientes en verde de nuevo. Comprenderá que esta vez no puedo ponerlos en todos, así que he dibujado sólo tres.

 Figura3

- Claro, claro.

- Si se fija bien ve las líneas apuntan a la nueva habitación. No están todas, claro. Bueno, pues las habitaciones impares no tienen ninguna flecha que llegue a ellas, así que estarán vacías y ahí colocaremos a sus clientes. Se lo muestro en este otro dibujo.

 

infinito_b.jpg

- Muchas gracias, muchísimas gracias. ¿Y cómo los coloco? Ellos vienen en un autobús numerado del uno al, no sé, al infinito imagino. ¿A qué habitación los mando?

- Es muy sencillo, dígale a cada uno que acudan a la habitación que corresponda a multiplicar su número de asiento por dos y restar uno. Así al pasajero del asiento uno le corresponderá la habitación uno, al del asiento dos la habitación tres, al del tres la cinco, etcétera. Puede comprobar fácilmente que no se quedará ninguno sin habitación.

- Maravilloso, maravilloso. Muchas gracias. Ya sabía yo que si en algún sitio me podían solucionar este problema era en el Hotel Hilbert, donde todo es una parte.

- Un saludo.

 

Capítulo 3

- Hotel Hilbert, dígame.

- Hola, tengo un problema...

- Señor Cántor, es un placer volverle a oír. ¿En que puedo ayudarlo hoy?

- Hola, hola. Imagino que volverán a estar completos. La feria del libro de cocina de este año lo ha llenado todo.

- Sí señor, pero ya sabe que somos bastante resolutivos. ¿Tiene otro autobús infinito que alojar?

- No, no, no. Ojalá fuera eso. Ya me aprendí el truco ese de los números pares e impares. Muy ingenioso. Cuando se lo conté a mi mujer no se creía que se me hubiera ocurrido a mí. Pero ahora sí que tengo un problema difícil de verdad. Resulta que hemos firmado un contrato para recibir y alojar un número infinito de autobuses, cada uno de ellos con infinitos clientes. Ya están como locos todos pidiéndome el número de habitación y no sé qué decirles.

- No se preocupe, señor Cántor. Para nosotros un un autobús infinito o infinitos autobuses infinitos no representan ninguna diferencia.

- No se imagina la alegría que me da. ¿Y cómo los coloco? ¿No pretenderá que espere un tiempo infinito a que haga la jugada esa de los impares infinitas veces?

- Por supuesto que no. Utilizaremos el método de la pirámide, que funciona muy bien en estos casos. Mire, señor Carnot, déjeme que le diga primero que va a tener que utilizar una fórmula matemática para colocar a sus clientes. Nada complicado.

- Por supuesto, por supuesto. No se preocupe por mí, fui primero de mi clase en la asignatura de matemáticas para las ciencias sociales.

- Muy bien. Empezaré por los clientes que ya están en el hotel, que resulta que lo volvemos a tener lleno. Toda esta actividad cultural del ayuntamiento nos está haciendo mucho bien. Como comprenderá tenemos que recolocarlos a todos de modo que nos dejen infinitas habitaciones libres. ¿Tiene papel y lápiz? Será más fácil si lo escribe.

- Espere un momento. Aquí tengo uno, es un bolígrafo, ¿da igual?

- Sí señor Cántor, da igual siempre que no quiera borrarlo después. Mire, necesito que escriba una pirámide de números. En la primera columna estará el número uno, en la segunda el 2 y el 3, en la tercera el 4, el 5, y el 6. ¿Me sigue? Con que dibuje cinco filas tenemos más que suficiente.

Tras unos segundos hubo una respuesta afirmativa. La pirámide quedó tal que así.

 Triángulo

 

- Bueno, ahora lo que haremos será alojar a todos los actuales clientes en la primera rama de la pirámide, la que baja por la derecha. Eso significa que el cliente de la habitación uno no se moverá, el de la habitación dos irá a la tres, el de la tres a la seis,

y así sucesivamente. Comprenderá que esa rama no se acaba nunca, por lo que no tendré problema. Solo tengo que decirles que calculen la nueva habitación de la siguiente manera, si están en la habitación n que se cambien a la habitación (n Ÿ n + n)/2. Es decir, que multipliquen su número de habitación por si mismo, que lo sumen al número de habitación y el total lo dividan entre dos. ¿Me sigue, señor Carnot? 

- Eh, sí claro. ¿Bueno eso son sus clientes, y a los míos cómo los coloco. 

- Ya llegamos a eso. Lo más sencillo es alojar a cada autobús en una rama, así hay menos líos. ¿Me he explicado?

- Bueno, sí claro. Muy bien, pero si puede volver a explicarme cómo hacer el triangulo ese mejor, para estar seguros. 

- Espere, mejor se lo envío al móvil ya con los autobuses colocados.

 Triángulo 2

- He marcado como "HH" la rama que corresponde a los actuales clientes del hotel. Como imaginará la pirámide es infinita, por lo que tiene infinitas ramas, una para cada autobús, y cada rama contiene infinitos números que corresponden a los pasajeros de cada autobús. Creo que está todo claro, ¿es así?

- Claro, claro. Sólo una cosa, ¿Cómo le digo a mis clientes cuál es su número de habitación? ¿Les mando el dibujito?

- No, hombre. No es necesario que ellos mismos se calculen la habitación. Hay una fórmula muy sencilla para calcularlo. Mire, si tenemos el pasajero del autobús número c, con asiento n su número de habitación se obtiene con la fórmula ((c+n-1)2+c+n-1)/2+n. Sencillo, ¿verdad?

No hubo respuesta.

- No se preocupe, señor Cántor. Páseme los correos de los clientes y el ordenador les asigna las habitaciones de forma automática. Usted quédese con la pirámide que creo que lo explica muy claro.

- Sí, sí, perfecto. Muchas gracias, voy a enseñárselo a mi mujer.

- No hay de qué. Un saludo.

 

Capítulo IV 

- Hotel Hilbert, ¿en qué puedo ayudarle?

- Buenos días, amigo, soy Cántor.

- Hola señor Cántor, encantado de saludarle. ¿En qué le puedo ayudar hoy?

- Buenas, mire, tengo aquí un encargo que mi jefe me dijo que no aceptara, pero es que él no sabe de hoteles infinitos como yo, así que no le he hecho caso. Se trata del negocio del siglo, y esta vez es un solo autobús infinito así que no hay problema.

- Por supuesto, señor. El problema de un autobús con infinitos pasajeros ya lo afrontamos hace tiempo. Imagino que recuerda usted el procedimiento para asignar a sus clientes todas las habitaciones impares.

- Sí, sí, claro, claro. Bueno, este autobús es un poco más raro, así que será mejor si me ayuda usted un poco. Resulta que este autobús tiene infinitos pasajeros, pero parece que están todos juntos. Me han dicho que para cualquier número que se me ocurra, aunque tenga infinitos decimales. Hay pasajeros incluso con el asiento de raíces cuadradas. Anda, hay un número π, ese es el número ese de los círculos, de donde viene el nombre pi-zza, ¿no? Lo leí en un artículo de una pelirroja.

- Perdone, señor Cántor, ¿me está diciendo usted que ese autobús tiene un conjunto continuo de pasajeros?

- No sé qué significa eso.

- Quiero decir, que si entre dos de sus pasajeros hay siempre otro pasajero. Bueno, habrá infinitos pasajeros.

- Sí, sí, eso es. Viene aquí en el contrato. Qué autobús más curioso.

- Lo siento mucho, pero no le podemos ayudar. 

- Pero, bueno, puede usar uno de esos trucos de antes, el del triángulo por ejemplo.

- ¡Señor Cántor! Me tiene que disculpar, pero no. Nuestro hotel es un lugar discreto, no podemos alojar ese número de clientes.

- Pero, infinito es infinito, ¿no es así? ¿Qué problema hay? ¿No es la parte igual al todo?

- Veo que por fin se ha aprendido nuestro lema, señor Cántor. Los siento mucho, de veras, pero no todos los infinitos son iguales, y el infinito de su autobús es mucho más grande que el infinito de nuestro hotel. Le recomiendo que antes de aceptar otro encargo consulte la diferencia entre infinitos numerables y no-numerables. Un saludo.