Actualmente la mayor parte del procesamiento de señales se realiza de forma digital. Esto significa que las señales se transforman en números (valores discretos) y se manipulan mediante un ordenador (u otro sistema similar). Esta manipulación, y por lo tanto modificación de los valores en la secuencia de números que definían a nuestra señal, es lo que denominamos procesamiento de señales.

Cuando la señal ya es originalmente un conjunto de números, este proceso es natural. Sería el caso, por ejemplo, del procesamiento de una fotografía capturada mediante una cámara digital y que nosotros decidimos retocar (filtrar, realzar contraste, aplicar algún tipo de efecto artístico, etc.). El resultado de este procesamiento es otra foto digital de salida más o menos cambiada respecto de la original.

Cuando la señal original no es un conjunto de valores discretos sino una variación continua a lo largo del tiempo, es necesaria una transformación para obtener la señal en forma digital. Esta transformación se conoce como conversión analógico - digital (A/D), que implica dos etapas: el muestreo y la cuantificación de la señal. El muestreo consiste en tomar valores de la señal cada cierto tiempo, es decir, no considerar todo el tiempo de forma continua sino solamente unas muestras equiespaciadas, con lo que el resultado es un conjunto finito de valores. La cuantificación se refiere a asignar a la amplitud de estos instantes de tiempo escogidos (es decir, al valor que toma la señal en estos instantes) un valor concreto de entre un conjunto finito de posibles valores, que son los que vendrán determinados por el número de bits N considerados en este proceso. Dado que para N bits este conjunto es de 2N valores, cuantos más bits, más posibles valores y por lo tanto mayor precisión (menor error) en esta etapa de cuantificación.

En este artículo hablaremos solamente del primer proceso, el muestreo, y dejamos el segundo para otra ocasión.

Para simplificar el detalle matemático, consideremos que la señal a muestrear es una señal cosenoidal de la forma x(t) = cos(2pi·f·t) donde f es la frecuencia de la señal (Hz) y t es la variable temporal. El proceso de muestreo consiste en tomar valores de x(t) en instantes concretos de t esto es en instantes de la forma t = nTs donde n es un entero que indica el número de muestra: x[n] = x(t)|t=n·Ts.

De esta forma estamos muestreando la señal cada Ts unidades de tiempo: la muestra 0 (n = 0) se corresponde con el instante t = 0, la muestra 1 (n = 1) con el instante t = Ts, la muestra 2  (n = 2) con el instante t = 2Ts, etc.

La pregunta del millón sería: ¿Y cuánto vale Ts? ¿Puede ser cualquier valor? Investiguemos un poco lo que significa fijándonos en los extremos: si Ts tiende a infinito esto representaría que tomaríamos la primera muestra (n = 0) en el instante t = 0 y luego ya no tomaríamos más muestras dado que para la siguiente (n = 1) valor, nTs se encuentra en el infinito. Está claro que con esto no conseguiríamos tener una versión digital correcta de la señal original. Por otra parte, si el instante Ts tiende a cero estaríamos tomando todas las muestras de forma continua. Esto implica que necesitaríamos infinitas muestras para cubrir toda la señal original. Por lo tanto tendríamos una copia exacta de ésta, consistiendo en infinitos valores continuos, es decir, la misma señal original. Con estos dos ejemplos extremos nos damos cuenta que el valor del instante Ts es fundamental en el proceso de muestreo.

Bien, pero, ¿Cuál es el valor óptimo (si existe) para Ts? Vamos a verlo, cualitativamente, analizando la forma del la señal x(t).

                                                                        Figura 1


Observando la figura 1, vemos en azul la señal x(t) = cos(2pi·f·t) mientras que en rojo se presentan las muestras escogidas cada cierto intervalo de tiempo T (2 segundos en este ejemplo). Si interpolamos (unimos) las muestras en rojo, vamos a visualizar la señal muestreada. El resultado se muestra en la figura 2, donde esta interpolación se ha indicado en trazo discontinuo.


                                                                          Figura 2


Claramente la señal recuperada (trazo discontinuo) no es la señal original (trazo continuo), sino que presenta una frecuencia de oscilación menor. Esto es así debido a que la frecuencia con la que tomamos las muestras (cada 2 segundos) es insuficiente para seguir a la señal original. Vamos a aumentar esta frecuencia, por ejemplo tomando muestras cada 0,5 segundos: Ts = 0,5. El resultado se muestra en la figura 3, donde se aprecia ahora que la interpolación de las muestras sí que permite recuperar la señal original.


                                                                         Figura 3

Concluimos, pues, que la frecuencia con la que debemos tomar las muestras va a depender de cómo varía la señal a muestrear: una señal con variaciones lentas precisará de una frecuencia de muestreo menor que una señal de variaciones rápidas. En términos del tiempo entre muestras, una señal con variaciones lentas tendrá un tiempo mayor entre muestras que una señal de variaciones rápidas (el tiempo entre muestras Ts y la frecuencia de muestreo fs están relacionados por Ts = 1/fs

La mínima frecuencia (teórica) de muestreo fs necesaria para conseguir recuperar la señal original se conoce como frecuencia de Nyquist (fN), y es igual al doble de la frecuencia máxima (f) que contenga la señal a muestrear: fN = 2f. Por lo tanto, para realizar el muestreo de forma correcta se debe cumplir lo que se conoce como criterio de Nyquist: fs ³  fN, es decir: fs ³  2f.

Esto nos confirma que si una señal se mueve muy deprisa (contiene frecuencias elevadas), precisará de más muestras para poder ser recuperada, es decir, su frecuencia de muestreo deberá ser mayor, o lo que es lo mismo, la separación entre muestras deberá ser menor.

Para el caso de las figuras anteriores, la señal original era un coseno de frecuencia f = 0,35 Hz y primero se muestreó a fs=0,5 Hz. Aún siendo la frecuencia de muestreo superior a la frecuencia de la señal (fs³ f), no se cumple el criterio presentado antes porque fs < fN, donde recordemos que fN = 2·f = 2·0,35 = 0,7 Hz que es inferior a fs = 0,5. De ahí que no consigamos recuperar la señal original sinó otra de menor frecuencia. Esta señal recuperada debe cumplir el criterio de Nyquist, por lo que su frecuencia f debe ser tal que 2f fs. Dado que la frecuencia de muestreo era fs = 0,5 Hz resulta f ≤ 0.25 Hz.

Si aumentamos la frecuencia de muestreo a fs = 2 Hz, ahora sí se cumple el criterio de Nyquist porqué fs ³ fN, esto es, 2 ³ 0,7 por lo que el muestreo se realiza de forma correcta y podemos recuperar la señal original, tal y como se aprecia en la figura 3.

Finalmente, en la figura 4 se presenta el caso extremo en el que fs = fN. Fijémonos que en este caso las muestras coinciden exactamente en los mínimos y máximos de la señal, de forma que no perdemos información sobre ésta.

                                                                         Figura 4

Para concluir, repasemos dos ejemplos reales de muestreos de señales que nos darán información de cómo funcionan diferentes sistemas conocidos por todos:

1. CD de audio: fs = 44.100 Hz para garantizar que fs ³ fN donde fN = 2f y se considera f = 20.000 Hz para abarcar todo el rango de frecuencias que el oído humano es capaz de percibir. Por lo tanto, estamos conservando todo lo que en teoría es audible y por esto hablamos de un sistema de alta calidad.

2. Canal telefónico: fs = 8.000 Hz para garantizar que fs ³ fN donde fN = 2f y se considera f = 3.400 Hz para abarcar el rango de frecuencias donde se encuentra la voz.

Jordi Solé i Casals
Jordi Solé i Casals
Sobre este blog
En la sociedad actual todo va muy deprisa. Comunicaciones, industria, avances técnicos y científicos... mucha información y poco tiempo para asimilarla nos produce vértigo y nos deja vacíos de saber. Intentaremos dar a conocer diferentes avances en el campo de la ciencia y la técnica en un lenguaje accesible, y devolver a la sociedad los resultados de las investigaciones hoy en curso.
Ver todos los artículos