3 de Marzo de 2019
Matemáticas

¿Cuántas cintas de Möbius caben en el espacio infinito?

Una nueva prueba demuestra que no puede caber un número incontablemente infinito de cintas de Möbius en un espacio tridimensional.

Una representación simplificada de la esfera con cuernos de Alexander [BernardH].

En matemáticas, el espacio tridimensional se extiende hasta el infinito en todas las direcciones. Con sitio infinito, cabría contener un número infinito de cosas, fuesen perlas, pavos reales o planetas.

Pero una reciente prueba de Olga Frolkina, matemática de la Universidad Estatal de Moscú, demuestra que no se puede embutir un objeto matemático bastante conocido un número incontablemente infinito de veces en una cantidad infinita de espacio: la banda de Möbius, un lazo bidimensional con una semitorsión. Este resultado subraya tanto lo delicada que es la tarea de situar superficies en el espacio como que la naturaleza de los infinitos desafía a la intución.

«Infinitos»: va en plural porque los hay de tamaños diferentes. El infinito más pequeño viene a ser como el conjunto de los números naturales: lo que se obtiene si se empieza a contar 1, 2, 3 y no se para nunca. El conjunto de los números naturales es contable, como cualquier grupo de objetos que se pueda disponer en una lista infinita. Si hubiese que colocar un número infinito de perlas (o de pavos reales, o de planetas) en el espacio tridimensional, las perlas serían contablemente infinitas (se podría, en teoría, incluirlas todas en una lista, como si cada una tuviese un número de serie grabado en un costado).

Hay conjuntos de números demasiado grandes para hacer con ellos una lista. Los números reales, por ejemplo, incluyen todos los puntos de la recta numérica, hasta los extraños, como π, que tienen representaciones decimales que ni acaban nunca ni se repiten. Mediante un argumento denominado diagonalización, ideado en el siglo XIX por el matemático alemán Georg Cantor, se puede mostar que hasta una lista infinita de números reales sería incompleta. El conjunto de los números reales es demostrablemente mayor que el de los números naturales. Es «incontablemente» infinito, o, cabe decir meramente, «incontable».

No obstante, puede haber colecciones incontables de objetos. Imagínese, por ejemplo, que se quiere embutir una colección incontable de cilindros en un espacio tridimensional de modo que ningún cilindro toque a otro. Para ello, bastará con poner todos los cilindros en el mismo eje y darles diferentes anchos, cada ancho correspondiente a uno de los incontablemente muchos puntos de la recta numérica. Los cilindros quedarán anidados unos dentro de otros como un incontable conjunto de muñecas rusas.

A primera vista, podría parecer que la situación sería similar para las bandas de Möbius. Pero si se hace una y se intenta anidar una segunda dentro de ella, se tendrá que esta acabará fuera de la primera para cuando se haya terminado la operación.

Realmente, que una banda permaneciese dentro de la otra le daría una orientación, una forma coherente de marcar un afuera y un adentro. Y eso no es posible, ya que la cinta de Möbius es el ejemplo más tangible de variedad no orientable: un objeto matemático en el que no se puede fijar una noción de adentro y afuera que sea coherente mientras se recorre el espacio.

Que las bandas no se puedan anidar como los cilindros no significa que no haya otras formas más inteligentes de insertarlas, sin embargo. No  es una prueba de que no se pueda hacer. Pero nos da una idea de en qué puede diferir la situación para los cilindros y para las bandas de Möbius.

Los resultados de Frolkina están firmemente enraizados en una disciplina que recibe el nombre de topología de conjuntos de puntos. En las décadas de 1950 y 1960, los matemáticos demostraron un surtido de teoremas acerca de cómo se encajan objetos como los discos (círculos rellenos) y esferas (huecas, como una pelotas de playa) en un espacio tridimensional.

En cierto sentido, los investigadores están haciendo que una abstracción matemática resulte tangible. El campo de la topología es algo así como una geometría basta, a brochazos: las formas y las distancias precisas le importan poco. Para ella, lo importante es la estructura a gran escala.

Geométricamente, una esfera bidimensional es el conjunto de todos los puntos que están exactamente a la misma distancia de un punto central común en el espacio, como la piel de una pelota de playa. Topológicamente, una esfera es cualquier cosa que se puede obtener aplastando o estirando de una u otra forma esa perfecta pelota de playa sin rasgarla o pegarla. La manera precisa de situar la esfera topológicamente en el espacio tridimensional recibe el nombre de inmersión. La inmersión de una esfera en un espacio tridimensional puede hacerse de muchas formas diferentes: puede ser perfectamente redonda, como una burbuja de jabón, estirarse como una salchicha, chafarse como la vacilante membrana celular de una ameba. Todas estas conformaciones satisfacen la definición de esfera.

A estos ejemplos de inmersiones se los conoce como inmersiones «domadas». Una inmersión domada se extiende al espacio entero, así que es posible estirar o aplastar el espacio para que la esfera inmersa se convierta en una esfera ordinaria, una esfera redonda.

Las inmersiones «salvajes», por el contrario, no se visualizan fácilmente y por lo general su descripción requiere un proceso infinito. Con una inmersión salvaje no hay manera de transformar el espacio para que la versión salvajemente inmersa se convierta en una esfera redonda.

Por ejemplo, para hacer la esfera con cuernos de Alexander se empieza con un toro (una forma parecida a la superficie de una rosquilla) y se le quita una rebanada. Se le adhieren dos toros más pequeños, entrelazados, uno a cada lado del vacío que ha dejado la rebanada, se les cortan rebanadas a esos toros y se inserta un par entrelazado de toros más pequeños a los que subsiguientemente se les corta una rebanada y se les insertan toros aún más pequeños. La esfera con cuernos de Alexader es el resultado de realizar ese proceso de sustitución infinitas veces. Verificarlo no es trivial, pero el objeto es topológicamente una esfera, si bien inmersa salvajemente. Ampliando, se verían «cuernos» entrelazados cada vez más estrechamente a escalas más y más pequeñas.

Puede no ser fácil embutir en el espacio esas inmersiones salvajes. A mediados del siglo XX, el matemático R. H. Bing demostró que se podia realizar la inmersión de una infnidad incontable de esferas y toros en el espacio tridimensional sin que se solapasen si la inmersión era domesticada pero no si era salvaje. Sin embargo, los discos son otra historia: es posible realizar la inmersión de incontablemente muchos discos sin solapamientos tanto domesticada como salvajemente.

¿Y que pasa con las cintas de Möbius? En 1962, los matemáticos rusos Victor Vasilievich Grushin y Victor Pavlovich Palamodov demostraron que no cabían incontablemente muchas bandas de Möbius domesticadamente inmersas en el espacio tridimensional salvo que se interseccionasen unas a otras, pero la pregunta seguía sin respuesta para las inmersiones salvajes.

Frolkina se ha basado en la obra de aquellos matemáticos, y en la de Bing y otros topólogos estadounidenses de conjuntos de puntos, para extender el resultado a las cintas de Möbius salvajemente inmersas. En su artículo disecciona las superfices inmersas y analiza la manera en que esas piezas diseccionadas pueden yacer en el espacio.

Frolkina también ha prestado atención al problema análogo en espacios de más dimensiones. Tomó en consideración variedades no orientables de n dimensiones, donde n es 3 o mayor. Demostró que solo pueden encajar domesticadamente en un espacio de n + 1 dimensiones contablemente muchas de esas variedades.

Su trabajo no aborda las inmersiones salvajes en esas dimensionalidades más altas. Pero Serey Melijov, matemático del Instituto Matemático Steklov de Moscú, que revisó su artículo para el Journal of Knot Theory ans Its Ramifications, lo extendió en un breve artículo que ha aparecido en el servidor de prepublicaciones arXiv. Por medio de técnicas algebraicas, más abstractas pero, en este caso, más potentes, Melijov retiró la restricción a la domesticación a la que se atuvo el estudio para más dimensiones de Frolkina. Juntos, ambos artículos demuestran que es imposible apretujar un número incontablemente infinito de variedades no orientables en el espacio sea con inmersiones domesticadas o con inmersiones salvajes.

La topología de conjuntos de puntos no está tan de moda como en los años sesenta, pero algunas cuestiones pendientes de la teoría de nudos, un área de investigación topológica más activa, tiene lo que Melijov llama «un regusto a conjunto de puntos»; un conocimiento más profundo de las inmersiones salvajes podría resultar útil en esa disciplina. En teoría de nudos, la condición de salvaje es en cierto sentido genérica: la mayoría de los nudos están inmersos salvajemente en el espacio ambiente.

Las inmersiones salvajes le llaman la atención a Frolkina porque llevan más allá los límites de los que los seres humanos pueden entender. «Siempre es interesante mirar qué hay más allá de las fronteras usuales», dice. Los topólogos restringen a menudo sus investigaciones a las cuestiones relativas a espacios con mejor comportamiento, pero «cuando nos encontramos un objeto salvaje, o un objeto que contradice la intuición, es que hemos llegado a un punto donde las cosas cambian».

Evelyn Lamb / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Referencia: «Pairwise disjoint Moebius bands in space», de Olga D. Frolkina en Journal of Knot Theory and Its Ramifications, vol. 27, núm. 09, 1842005 (2018)

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