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23 de Abril de 2019
Mecánica cuántica

En los juegos cuánticos, uno no sabe lo que le espera

Esos juegos combian el entrelazamiento, el infinito y unas probabilidades de ganar que no es posible calcular. Pero si se consigue desentrañar sus secretos, se revelarán resultados matemáticos muy profundos.

Al contrario que un juego clásico como el blackjack, en los juegos cuánticos no se puede saber con qué probabilidad exacta se ganaría aunque se jugase de la mejor manera posible [BuickCenturyDriver].

En la década de 1950, cuatro soldados del ejército estadounidense que tenían formación matemática se valieron de unos primitivos calculadores electrónicos para encontrar una estrategia óptima en el juego del blackjack. Sus resultados, que se publicarían en el Journal of the American Statistical Association, detallaban la mejor decisión que un jugador podría tomar en cada situación que se diese en el juego

Sin embargo, la estrategia no garantiza que un jugador vaya a ganar en cada apuesta. El blackjack, como los solitarios, las damas o muchos otros juegos, tienen un techo del porcentaje de partidas que los jugadores pueden tener la esperanza de ganar aunque jueguen de la mejor de las maneras en que el juego pueda ser jugado.

Pero para una variedad particularmente extraña de juegos resulta imposible calcular la máxima probabilidad de ganar. Por eso, matemáticos y científicos de la computación intentan determinar otra cosa: si es siquiera posible hallar una aproximación a unas probabilidades máximas de ganar en esos juegos. Y que sea posible depende de la compatibilidad de dos formas muy diferentes de entender la física pertinente al problema.

Esos juegos «no locales» fueron concebidos en la década de 1960 por el físico John Stewart Bell como una manera de comprender el peculiar fenómeno cuántico al que se denomina «entrelazamiento». El entrelazamiento cuántico es complicado; los juegos no locales, no. Hay dos jugadores y a cada uno se le hace una pregunta simple. Ganan el juego si sus respuestas están coordinadas de cierta forma. Por desgracia no pueden comunicarse entre sí, de manera que cada uno ha de adivinar cómo va a responder el otro. Bell demostró que, si los jugadores podían compartir pares de partículas entrelazadas, se incrementaban las correlaciones entre sus respuestas y ganaban partidas con una frecuencia superior a la esperada.

En los últimos años se ha ido elaborando más lo propuesto por Bell. Un artículo de 2016, de William Slofstra, y otro de 2018, de Andrea Coladangelo y Jalex Stark, demostraron que algunos jugadores no locales, cuantos más pares de partículas cuánticas entrelazadas comparten, mejor juegan. Esta relación se mantiene indefinidamente, por lo que los jugadores necesitarían infinitos pares de partículas entrelazadas (o pares entrelazados con un número infinito de propiedades independientes) para jugar juegos no locales de la mejor manera en que se puede jugarlos.

Una consecuencia de estos resultados es que es imposible computar la máxima probabilidad de ganar en algunos juegos no locales. Los ordenadores no pueden operar con cantidades infinitas, de modo que, si la estrategia algorítmica perfecta requiere un número infinito de partículas entrelazadas, no será posible que un ordenador calcule la frecuencia con que una estrategia da buen resultado.

«No hay un algoritmo general que, con que se le introduzca una descripción del juego, arroje una probabilidad máxima de ganar», explica Henri Yuen, teórico de la computación de la Universidad de Toronto.

Pero, aunque no podemos saber con exactitud la máxima probabilidad de ganar, ¿podremos al menos calcularla dentro de, digamos, unos pocos puntos porcentuales?

Los matemáticos han trabajado duro para responder la pregunta. Aunque parezca extraño, su manera de abordarla depende de la compatibilidad de dos formas muy diferentes de entender la física pertinente.

Recuérdese que a los dos jugadores de un juego no local se les impide coordinar sus respuestas. Hay dos formas de impedírselo. La primera es aislar a los jugadores entre sí: situarlos en habitaciones separadas o llevar a uno a la otra punta del universo. Ese aislamiento espacial garantiza que no se podrán comunicar. Los investigadores analizan esta situación por medio de un modelo consistente en un «producto tensorial» (la expresión se refiere a unos objetos matemáticos llamados tensores).

Pero hay otra forma de impedir que los jugadores conspiren a la hora de responder. En vez de separarlos, se impone un requisito distinto: que el orden en que los dos jugadores midan sus partículas entrelazadas y den sus respuestas no pueda afectar a qué respuestas den. «Si el orden en que hagan sus mediciones no importa, entonces quedará claro que no pueden comunicarse», dice Yuen.

En matemáticas, cuando el orden en que las cosas se hacen no afecta a la respuesta final se dice que la operación conmuta: a x b = b x a. Esta forma de entender los juegos no locales (basada en la independencia del orden en vez de en la separación espacial) recibe el nombre de modelo «del operador conmutativo».

El modelo del producto tensorial y el del operador conmutativo se usan en física, especialmente en el estudio de las interacciones entre partículas subatómicas dentro del área de investigación conocida como teoría cuántica de campos. Los dos modelos representan dos formas diferentes de entender qué quiere decir que unos eventos fñisicos sean casualmente independientes entre sí. Y si bien el modelo del producto tensorial es más intutitivo, el del operador conmutativo ofrece un marco matemático más coherente. La razón está en que la «independencia espacial» viene a ser una idea borrosa, mientras que la relación conmutativa se puede describir con toda exactitud.

«Para quienes estudian la teoría cuántica de campos, esa idea de que haya cosas separadas espacialmente no es natural», afirma Yuen. «Matemáticamente, no está dado de antemano que realmente se puedan colocar dos cosas independientes en dos localizaciones del universo separadas».

Ahí está todo lo que esto tiene que ver con los juegos no locales.

Los científicos de la computación pueden valerse del modelo del producto tensorial para calcularle un suelo a la máxima probabilidad de ganar en los juegos no locales. El algoritmo que usan asegura que la máxima probabilidad de ganar está por encima de un cierto umbral. De modo similar, se puede utilizar el modelo del operador conmutativo para encontrarle un techo a la probabilidad máxima de ganar. Ese algoritmo puede prometer que estará por debajo de algún dintel.

Con estas herramientas de que disponen, los investigadores quieren apretar esos límites tanto como se pueda, como dos pistones. Saben que no pueden hacer que esos dos límites se toquen, con lo que habría un sola y exacta probabilidad máxima de ganar (los recientes trabajos de Slofstra, Coladangelo y Stark demuestran que una probablidad máxima de ganar exacta es incalculable), pero cuanto más se pueda acercar los dos límites, con mayor precisión podrán aproximarse a la probabilidad máxima de ganar.

Y, en efecto, cuanto más se prolonga la ejecución de esos algoritmos, parece que los límites se van acercando, que se producen aproximaciones cada vez más finas alrededor de un inefable valor medio que no se alcanzará nunca. Sin embargo, no está claro que esa convergencia observada continúe indefinidamente. «Esos algoritmos son completamente misteriosos. No es una mejora gradual, suave, de los números. La verdad es que no sabemos a qué velocidad convergen», explica Yuen.

Esta estrategia del pistón tiene como premisa que los dos modelos son equivalentes. Presupone que el techo y el suelo se acercan el uno al otro como para tocarse en un valor que haya entre los dos. Si realmente los dos modelos son equivalentes, los dos pistones realmente irán de camino a estar tan cerca el uno del otro como se quiera. (Y por implicación, si se puede probar que los pistones van camino de estar tan cerca el uno del otro como se quiera, se probará también que los dos modelos son equivalentes).

Pero es posible que los dos modelos no sean formas diferentes de representar lo mismo. Es posible que sean diferentes, inconmensurables, y que como resultado de ello esa estrategia del pistón condujese a una situación donde el techo acabase empujado por debajo del suelo. En ese caso, los científicos de la computación perderían su mejor estrategia para aproximarse a las máximas probabilidades de ganar. Por desgracia, no se sabe con seguridad si es cierto lo uno o lo otro.

En el último par de años, el mayor progreso ha venido en la forma de dos pruebas que han dejado establecido solo lo difícil que es resolver el problema.

En 2018, Thomas Vidick y Anad Natarajan demostraron que aproximarse a las probabilidades máximas de ganar en los juegos no locales es, al menos, tan difícil como resolver otros problemas notoriamente difíciles, como el del viajante. También en 2018, Yuen, Vidick, Joseph Fitzimons y Zhengfeng Ji demostraron que, a medida que los pistones se acercan, los recursos computacionales necesarios para que se sigan acercando crecen exponencialmente.

Pero, en otro giro de la historia, la pregunta de si los dos modelos son equivalentes es directamente análoga a un problema de matemática pura importante y difícil, aún por resolver: la conjetura de la inmersión de Connes. Esto sitúa a los científicos de la computación y a los matemáticos en un caso de matar a tres pájaros de un tiro: demostrando que los modelos del producto tensorial y el operador conmutativo son equivalentes, generarían simultáneamente un algoritmo para computar aproximadamente las probabilidades máximas de ganar y establecerían además la verdad de la conjetura de la inmersión de Connes. El logro se ganaría el aplauso en todas las disciplinas con las que estaría relacionado.

Lo que es como decir, y nunca mejor dicho, que todo está muy entrelazado.

Kevin Hartnett / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Referencia: «Quantum proof systems for iterated exponential time, and beyond», de Josef Fitzsimons et al. en arXiv:arXiv:1805.12166 [quant-ph].

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