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1 de Septiembre de 2020
Física teórica

La estructura matemática de las colisiones de partículas

Los físicos han identificado una estructura algebraica que parece subyacer a las interacciones entre partículas elementales. El resultado podría derivar en una teoría más elegante del mundo natural.

vchal/Quanta Magazine

A la hora de predecir los resultados de sus experimentos, los físicos de partículas se enfrentan a un cálculo imposible: una ecuación infinitamente larga que desborda la capacidad de las matemáticas modernas. Por fortuna, es posible hacer predicciones aproximadas sin necesidad de abarcar dicho cálculo en su totalidad. Gracias a esos cálculos abreviados, los físicos pueden comparar sus predicciones teóricas con los resultados obtenidos en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) del CERN, donde se hacen chocar partículas subatómicas en un túnel circular de 27 kilómetros de longitud. 

No obstante, puede que la era de acuerdo entre predicciones y experimentos esté llegando a su fin. Las mediciones son cada vez más precisas, pero las aproximaciones que los físicos teóricos se ven obligados a hacer para poder llevar a cabo sus cálculos puede que no sean capaces de seguirles el ritmo. «Estamos a punto de agotar nuestras opciones en cuanto a lo que podemos hacer», admite Claude Duhr, físico de partículas del CERN.

En los últimos meses, tres artículos de un grupo de físicos liderado por Pierpaolo Mastrolia, de la Universidad de Padua, y Sebastian Mizera, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, han descubierto que bajo tales cálculos se esconde una estructura matemática que brinda una nueva forma de condensar los infinitos términos en unas pocas decenas de componentes básicos. El método puede contribuir a que se alcancen los niveles de precisión predictiva que los físicos teóricos necesitan si quieren superar el modelo vigente, aunque incompleto, de física de partículas. «Los resultados que han obtenido sobre la viabilidad de la técnica demuestran que esta es muy prometedora», señala Duhr.

Al mismo tiempo, puede que la recompensa vaya más allá mejorar la precisión de las predicciones teóricas. El nuevo método elude los escollos matemáticos habituales gracias a que calcula directamente los llamados «números de intersección», ciertas cantidades que, según algunos investigadores, podrían conducir a una descripción más elegante del mundo subatómico. 

«No solo se trata de una cuestión matemática», apunta Simon Caron-Huot, investigador de la Universidad McGill que está estudiando las implicaciones del trabajo de Mastrolia y Mizera. «Es algo que guarda relación con los cimientos de la teoría cuántica de campos.» 

Bucles infinitos 

Cuando los físicos modelizan la colisiones de partículas, emplean una herramienta conocida como diagramas de Feynman: un método sencillo para esquematizar el proceso concebido en los años cuarenta del siglo pasado por Richard Feynman. 

Para entender de qué se trata, considere el caso en el que dos quarks se aproximan, «chocan» intercambiando un gluon, y luego salen despedidos en direcciones opuestas. En un diagrama de Feynman, las trayectorias de los quarks se simbolizan mediante líneas que se cortan cuando las partículas interaccionan. Feynman desarrolló una serie de reglas para convertir un diagrama dado en una ecuación que permite calcular la probabilidad de que el evento representado ocurra. Para ello, se escribe una función por cada línea (por lo general, una fracción que depende de la masa y el momento de la partícula) y al final estas se multiplican. Cuando se consideran escenarios sencillos, como el acabamos de describir, las operaciones caben en una servilleta.

Pero la regla de oro de la teoría cuántica nos dice que hemos de considerar todas las posibilidades, y el intercambio de un único gluon no constituye más que una de las infinitas opciones que pueden darse cuando chocan dos quarks. Por ejemplo, el gluon puede también convertirse por un instante en un par de quarks virtuales que luego vuelven a combinarse. Sabemos que en el proceso entran dos quarks y salen otros dos. Pero, en el medio, pueden ocurrir un sinfín de fenómenos. Tenerlos todos en cuenta daría lugar a predicciones perfectas, pero exigiría calcular un número infinito de diagramas. Nadie espera la perfección, pero la clave para mejorar la precisión de los cálculos radica en llegar más y más lejos en esa secuencia infinita de eventos. Es ahí donde los físicos se estancan.

Diagrama de Feynman en el que dos quarks interaccionan intercambiando un gluon. A su vez, este se desintegra brevemente en un quark y un antiquark virtuales que luego vuelven a combinarse. [Samuel Velasco/Quanta Magazine]

Resolver con un detalle cada vez mayor lo que ocurre en las entrañas de la colisión requiere incluir los efectos de las partículas virtuales: fluctuaciones cuánticas que van modificando sutilmente el resultado. La fugaz existencia del par de quarks mencionado, al igual que muchos otros procesos virtuales, se representa mediante un bucle cerrado. Y estas estructuras resultan confusas, puesto que vienen a ser «cajas negras» que añaden capas adicionales de escenarios infinitos. Para abarcar todas las posibilidades implícitas en un bucle, los físicos han de calcular ciertas integrales. Y tales operaciones adquieren proporciones monstruosas cuando se incluyen diagramas de Feynman con múltiples bucles, los cuales se tornan inevitables a medida que los físicos incorporan interacciones virtuales más y más complejas.

Existen algoritmos bien conocidos para determinar la probabilidad asociada a un diagrama que no incluye ningún bucle o que solo tiene uno. Sin embargo, muchos diagramas con dos bucles pueden llegar a doblegar a los ordenadores. Ello impone un límite en la precisión que podemos alcanzar en el cálculo, así como en la comprensión misma de estos procesos cuánticos.

No obstante, existe un pequeño alivio. No es necesario calcular hasta la última de las integrales de un diagrama de Feynman complejo, ya que la gran mayoría de ellas pueden agruparse. Es posible reducir miles de integrales a solo unas decenas de «integrales maestras», las cuales se ponderan y se suman. Sin embargo, concretar qué integrales pueden subsumirse en qué integrales maestras constituye en sí mismo un arduo problema computacional. Los investigadores utilizan ordenadores para, en esencia, tantear millones de relaciones posibles y extraer laboriosamente las combinaciones de las integrales que importan. 

Con los números de intersección, en cambio, los físicos quizás hayan encontrado una elegante manera de desgranar la información fundamental de los extensos cálculos que implican las integrales de Feynman.

Una huella geométrica

El trabajo de Mastrolia y Mizera tiene sus raíces en una rama de las matemáticas puras llamada topología algebraica, dedicada a clasificar formas y espacios. Para ello, los matemáticos aplican teorías de «cohomología», las cuales les permiten extraer huellas algebraicas de espacios geométricos intrincados. «Es una especie de síntesis, una herramienta algebraica que incorpora los aspectos esenciales del espacio que deseamos estudiar», explica Clément Dupont, matemático de la Universidad de Montpellier.

Los diagramas de Feynman pueden interpretarse como espacios geométricos que se prestan al análisis de cohomologías. Cada punto de tales espacios representa uno de los múltiples escenarios que pueden tener lugar cuando dos partículas colisionan. De este modo, cabría suponer que, estudiando la cohomología de ese espacio (hallando su estructura algebraica), podrían obtenerse los pesos relativos de las integrales maestras que lo sustentan. Sin embargo, el tipo de espacio geométrico que caracteriza a la mayoría de los diagramas de Feynman está deformado de tal manera que se resiste a los cálculos de cohomología.

En 2017, Mizera estaba analizando las colisiones que aparecen en teoría de cuerdas cuando se topó con ciertas herramientas que, en los años setenta y ochenta del siglo pasado, desarrollaron los matemáticos Israel Gelfand y Kazuhiko Aomoto mientras trabajaban en un tipo de cohomología conocida como «cohomología retorcida» (twisted cohomology). Ese mismo año, Mizera conoció a Mastrolia, quien se percató de que las mismas técnicas podían aplicarse a los diagramas de Feynman. Y el año pasado, los investigadores publicaron tres artículos en los que se servían de dicha teoría para agilizar los cálculos asociados a colisiones simples de partículas.

Su método se basa en considerar una familia de escenarios físicos relacionados, representarlos como un espacio geométrico y calcular su cohomología retorcida. Esta, añade Mizera, «tiene mucho que decir sobre las integrales que nos interesan». En particular, la cohomología retorcida indica cuántas integrales maestras cabe esperar y qué pesos deben asignárseles, los cuales se obtienen a partir de los números de intersección. Al final, miles de integrales se reducen a una suma ponderada de decenas de integrales maestras.

Pero, por otro lado, puede las teorías de cohomología que dan lugar a los números de intersección sirvan para algo más que para simplificar los cálculos. En concreto, podrían ayudar a encontrar la relevancia física de las variables más importantes que intervienen en ellos.

Por ejemplo, cuando un gluon virtual se divide en dos quarks, el tiempo de vida medio de estos últimos puede variar. En el espacio geométrico asociado, cada punto corresponde a una vida media diferente. Y cuando los investigadores calculan sus respectivos pesos, observan que aquellos casos en los que las particular virtuales persisten durante más tiempo (es decir, cuando dichas partículas virtuales se vuelven «casi reales») son los que más contribuyen al resultado. «Es lo más asombroso de este método», afirma Caron-Huot. «Lo reconstruye todo a partir de esos eventos especiales y poco frecuentes».

Hace unos días, Mizera, Mastrolia y sus colaboradores publicaron otro artículo preliminar donde muestran que la técnica ha madurado lo suficiente como para manejar diagramas de dos bucles del mundo real. Al mismo tiempo, un trabajo aún en preparación de Caron-Huot promete desarrollar aún más el método, extendiéndolo quizá a diagramas con tres bucles.

Si este programa de investigación tiene éxito, ayudará a inaugurar la próxima generación de predicciones teóricas. Y, tal y como sospechan algunos investigadores, puede que incluso augure una nueva perspectiva de la realidad.

Charlie Wood/Quanta Magazine

Artículo original traducido por Investigación y Ciencia con el permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

Referencia: «Decomposition of Feynman Integrals by Multivariate Intersection Numbers»; Hjalte Frellesvig et al. en arxiv.org/abs/2008.04823, 11 de agosto de 2020.

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