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8 de Julio de 2019
Matemáticas

La hipótesis de Riemann se tambalea pero no cae

Una línea de trabajo largamente abandonada abre un nuevo frente en los intentos por demostrar la célebre conjetura.

Representación numérica de los valores de la función zeta de Riemann en el plano complejo. Cada color corresponde a un valor; los ceros de la función se encuentran en aquellos puntos coloreados de negro. La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros «no triviales» se sitúan sobre la recta vertical de parte real 1/2. [Dominio público, vía Wikimedia Commons]

La hipótesis de Riemann constituye uno de los problemas abiertos más importantes en matemáticas. Aunque una gran cantidad de indicios apuntan a que es cierta, esta conjetura, formulada en 1859 por el matemático alemán Bernhard Riemann, sigue hoy sin demostrar. En un artículo reciente, el matemático Michael Griffin, de la Universidad Brigham Young de Utah, y otros investigadores han encontrado un enfoque prometedor al retomar una línea de trabajo largamente abandonada. Los resultados se publican en PNAS.

El punto de partida de la hipótesis de Riemann es una función de una variable, ζ(s), definida como la suma de los inversos de los enteros positivos elevados a la potencia s:

ζ(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + ···

Esta función puede extenderse a valores complejos de s; es decir, a números de la forma s = a + ib, donde a y b denotan números reales e i representa la unidad imaginaria, i2 = –1. Dicha función compleja se conoce como función zeta de Riemann.

La función zeta tiene un gran interés en teoría de números ya que, entre otras razones, se encuentra relacionada con la manera en que se distribuyen los números primos. En concreto, la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann (es decir, aquellos valores de s para los cuales ζ(s) = 0) proporcionaría una buena estimación de la distribución de los números primos si la conjetura de Riemann fuese cierta. Esta afirma que, con excepción de los llamados «ceros triviales» de ζ(s) (los números pares negativos: s = –2, –4, –6, etcétera), todos los ceros de la función zeta cumplen que su parte real es igual a 1/2.

Entre las vías exploradas para verificar esta conjetura, el matemático húngaro George Pólya demostró en 1927 que la hipótesis de Riemann era equivalente a otro problema: el de demostrar que cierta clase de polinomios, conocidos como polinomios de Jensen (en honor al matemático danés Johan Jensen), son hiperbólicos.

Un polinomio con coeficientes reales es hiperbólico si todos sus ceros son también reales. Por su parte, los polinomios de Jensen quedan definidos por dos parámetros: su grado, d, y su «desplazamiento» (shift), n. El problema es que existe un número infinito de ellos. Y aunque hace tiempo que se sabe que algunos sí son hiperbólicos, resolver la cuestión en el caso general se ha considerado hasta hoy un enfoque excesivamente difícil.

Ahora, Griffin y sus colaboradores han logrado demostrar dicha propiedad para un vasto conjunto de polinomios de Jensen. Para ello los investigadores recurrieron a los polinomios de Hermite, una serie de polinomios bien conocidos por los físicos por cuanto permiten expresar la función de onda de un oscilador armónico en mecánica cuántica. 

El nuevo trabajo ha demostrado que, para todo valor de d, los polinomios de Hermite proporcionan una buena aproximación de los polinomios de Jensen siempre que n sea lo suficientemente grande. Y dado que los polinomios de Hermite sí son hiperbólicos, el resultado implica lo propio para una gran clase de polinomios de Jensen. Se trata de un avance prometedor, si bien ahora falta por generalizar este resultado para todos los valores de n. Una vez más, la hipótesis de Riemann se resiste a ceder. 

Sean Bailly

Referencia: «Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences», Michael Griffin et al. en Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 116, págs. 11.103-11.1110, 4 de junio de 2019.

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