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7 de Septiembre de 2020
Matemáticas experimentales

Un nuevo descubrimiento sobre el dodecaedro

Tres matemáticos han resuelto una cuestión fundamental sobre caminos rectos en el sólido platónico de doce caras.

Cómo volver al vértice de partida sin pasar por ningún otro yendo recto sobre un dodecaedro [Samuel Velasco/Quanta Magazine].

Aunque los matemáticos se han pasado más de 2000 años diseccionando la estructura de los cinco sólidos platónicos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro) hay todavía mucho que no sabemos sobre ellos.

Ahora, un trío de matemáticos ha resuelto una de las cuestiones más básicas relativas al dodecaedro.

Suponga que usted está en uno de los vértices de un sólido platónico. ¿Hay algún camino recto que pueda usted seguir que acabe por llevarle de vuelta a su punto de partida sin pasar por ninguno de los otros vértices? Para los cuatro sólidos platónicos construidos con cuadrados o triángulos equiláteros (el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro), los matemáticos han obtenido recientemente que la respuesta es no. Cualquier trayectoria recta que empiece en un vértice, o acabará topándose con otro vértice o irá dando vueltas para siempre sin volver nunca a casa. Pero con el dodecaedro, que está formado por doce pentágonos, los matemáticos no sabían qué podían esperarse.

Ahora, Jayadev Athreya, David Aulicino y Patrick Hooper han mostrado que sobre el dodecaedro realmente existe un número infinito de caminos así. Su artículo, publicado en Experimental Mathematics, enseña que esos caminos se dividen en 31 familias naturales.

La solución ha requerido el uso de técnicas modernas y de algoritmos de ordenador. «Hace veinte años [esta cuestión] estaba absolutamente fuera del alcance; hace diez años habría requerido que se hiciera un esfuerzo enorme para escribir todos los programas informáticos necesarios, así que solo es ahora cuando se han conjugado todos los factores», escribe Anton Zorich, del Instituto de Matemáticas de Jussieu, en París, en un mensaje de correo electrónico.

El proyecto empezó en 2016 cuando Athreya, de la Universidad de Washington, y Aulicino, del Brooklin College, se pusieron a jugar con una colección de recortes de cartulina que se plegaban formando los sólidos platónicos. Mientras iban construyendo los distintos sólidos, se le ocurrió a Aulicino que un cúmulo de investigaciones recientes sobre la geometría plana podría ser justo lo que necesitaban para entender los caminos rectos en el dodecaedro. «Estábamos montando, entiéndase al pie de la letra, esas cosas», dice Athreya. «Así que fue una de esas veces en que una exploración ociosa encuentra una oportunidad».

Junto con Hooper, del City College de Nueva York, ambos matemáticos vieron cómo clasificar todos los caminos rectos que salen de un vértice y vuelven a él esquivando los demás vértices.

Su análisis es «una solución elegante», dice Howard Masur, de la Universidad de Chicago. «Es una de esas cosas de las que puedo decir, sin la menor duda, '¡madre mía, ojalá lo hubiese hecho yo!'».

Simetrías ocultas

Aunque los matemáticos han hecho cábalas sobre los caminos rectos en el dodecaedro desde hace más de un siglo, el interés sobre ese tema resurgió en años recientes tras los avances en el conocimiento de las «superficies de traslación». Estas son unas superficies que se forman pegando entre sí los lados paralelos de un polígono; han resultado ser útiles en el estudio de una amplia gama de asuntos que tienen que ver con los caminos rectos sobre figuras con vértices, de las trayectorias en las mesas de billar a la cuestión de cuándo una sola luz puede iluminar una habitación entera cubierta de espejos.

En todos esos problemas, la idea básica consiste en desenvolver la figura de forma tal que los caminos que se estudian sean más simples. Así, para entender los caminos rectos en un sólido platónico se puede empezar por abrir suficientes aristas de modo que el sólido yazga plano, formando lo que los matemáticos llaman una red. Una red para el cubo, por ejemplo, es una figura en forma de T compuesta por seis cuadrados.

David Aulicino y Jayadev Athreya montaron en 2018 este dodecaedro de papel para mostrar que realmente son posibles los caminos rectos que parten de un vértice y vuelven a él sin pasar por otros vértices [Patrick Hooper].

Imagínese que hemos aplanado el dodecaedro y estamos ahora caminado a lo largo de esa figura plana en alguna dirección que hayamos escogido. Al final, nos encontraremos con el borde de la red, momento en el cual nuestro camino saltará a un pentágono diferente (uno de los que se pegaron a nuestro pentágono actual antes de abrir el dodecaedro). A donde quiera que salte el camino, rotará también en algún múltiplo de 36 grados.

Para librarse de tanto salto y rotación, pegaremos, cuando lleguemos a un borde de la red, una nueva y rotada copia de la red y seguiremos recto por ella. Habremos añadido alguna redundancia: ahora tendremos dos pentágonos diferentes que representarán a cada pentágono del dodecaedro original. Habremos hecho que nuestro mundo, pues, sea más complicado, pero nuestro camino se habrá simplificado. Podremos seguir añadiendo una red nueva cada vez que tengamos que expandirnos más allá del borde de nuestro mundo.

Para cuando nuestro camino haya atravesado las redes, habremos rotado la red original por cada múltiplo posible de 36 grados y la siguiente red que añadamos tendrá la misma orientación que aquella con la que empezamos. Quiere decir que esa undécima red estará relacionada con la original por un mero desplazamiento, lo que los matemáticos llaman una traslación. En vez de pegar una undécima red, podríamos, simplemente, pegar el borde de la décima con la arista paralela correspondiente de la red original. Nuestra figura ya no será plana, yaciente sobre la mesa, pero para los matemáticos aún «recordará» la geometría plana de su encarnación anterior, así que, por ejemplo, se considerarán rectos los caminos que lo fuesen en la figura sin pegar. Una vez que hayamos efectuado todos los pegamentos posibles de aristas paralelas correspondientes, tendremos una superfice de las llamadas de traslación.

Athreya se ha tatuado en el brazo derecho su superficie de traslación favorita: un doble pentágono [<span>Radhika Govindrajan</span>].

La superficie de traslación resultante es una representación muy redundante del dodecaedro, con diez copias por cada pentágono. Y es inmensamente más complicada: queda pegada en la forma de una rosquilla con 81 agujeros. No obstante, gracias a esta figura complicada los tres investigadores pudieron acceder a la rica teoría de las superficies de traslación.

Para abordar esa superficie gigantesca, se remangaron, figurativa y literalmente. Tras trabajar en el problema durante unos meses, comprendieron que esa rosquilla de 81 agujeros forma una representación redundante no solo del dodecaedro, sino de una de las superficies de traslación más estudiadas, la que lleva el nombre de doble pentágono; se hace uniendo dos pentágonos por una sola arista y pegando entonces los lados paralelos para crear una rosquilla de dos agujeros con una rica colección de simetrías.

Esa figura estaba tatuada en el brazo de Athreya. «El doble pentágono era algo que ya conocía y amaba» dice Athreya, que se hizo ese tatuaje un año antes de que se pusiese a pensar con Aulicino en el dodecaedro.

Como el doble pentágono y el dodecaedro son primos geométricos, el elevado grado de simetría del primero puede elucidar la estructura del segundo. Es una «simetría oculta asombrosa», según Alex Eskin, de la Universidad de Chicago (que fue asesor doctoral de Athreya hace unos quince años). «Que el dodecaedro tenga ese grupo de simetría oculto es, creo, verdaderamente notable».

La relación entre estas superficies significaba que los investigadores podían aprovechar un algoritmo que analizaba superficies de traslación muy simétricas, preparado por Myriam Finster, del Instituto de Karlsruhe de Tecnología. Al adaptarlo, identificaron todos los caminos rectos sobre el dodecaedro que volvían al vértice de partida y clasificaron esos caminos por medio de las simtrías ocultas del dodecaedro.

El análisis fue «uno de los proyectos más divertidos en los que he trabajado en toda mi carrera», dice Athreya. «Es importante no dejar de jugar con las cosas».

El nuevo resultado muestra que incluso los objetos que han sido estudiados durante miles de años pueden guardar todavía secretos, como dice Eskin. «Creo que hasta para [los tres matemáticos] resultó muy, muy sorprendente decir algo nuevo sobre el dodecaedro».

Erica Klarreich / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con el permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

Referencia: Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces , de Jayadev S. Athreya et al., en Experimental Mathematics (publicado en la Red el 27 de mayo de 2020).

Jayadev Athreya explica en este episodio de Numberphile cómo resolvieron él y sus colaboradores un problema planteado hace mucho sobre caminos rectos en un dodecaedro.

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