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10 de Septiembre de 2019
Teoría de números

Un viejo problema sobre el 42, resuelto

Una ecuación sencilla, pero un problema difícil. ¿Qué tres cubos de enteros suman 42? Se ha dado la solución tras años buscándola.

Zaphod Beeblebrox, con dos cabezas, un tiempo presidente de la galaxia en la Guía del autoestopista galáctico, según una representación de The Really Youthful Theatre Company. 42 es la respuesta al problema de la vida, el universo y todo, tal y como calcula un superordenador en la novela de Douglas Adams [Hypermusic].

Dos matemáticos, concentrando la potencia de cálculo de ordenadores de todo el mundo, han despejado el secreto que encerraba el número 42; han encontrado tres cubos de números enteros que suman 42, que bien pudiera ser el más famoso de los números de dos cifras (gracias a la Guía del autoestopista galáctico). Así han resuelto un problema que llevaba ocupando a los matemáticos 65 años: ¿se pueden expresar todos los números naturales hasta 100 como la suma de tres cubos de enteros? En forma de ecuación: x3 + y3 + z3 = n. Se trata de una de las llamadas diofánticas, conocidas desde la antigüedad (el teorema de Fermat se refiere a una forma de ecuaciones diofánticas). Solo a partir de la década de 1950, con la aparición de los ordenadores electrónicos, empezó a ser realista la posibilidad de encontrar sumandos cúbicos de un tamaño arbitrario que la resolviesen.

La tarea, pese a su simple apariencia, tiene su qué. Al contrario que los cuadrados, los cubos pueden ser negativos, con lo cual las posibilidades crecen inmensamente: así, 20 es la suma de 13, (-2)3 y 33, pero para el 30 hay ya que sumar (-283.059.965)3, (-2.218.888.517)3 y 2.220.422.9323. No obstante, con la ayuda de los ordenadores y de algoritmos modernos, especialistas y aficionados han ido hallando los tríos de cubos que sumados dan todos los números naturales hasta el 100, con la excepción del 33 y del 42. Estos números no cedían ante el procedimiento ideado en 2000 por el matemático de Harvard Noam Elkies.

Por fin, en 2019 el matemático Andrew Booker, de la Universidad de Bristol, formuló un nuevo algoritmo. Gracias a él pudo superar la resistencia del 33 en tres semanas con un superordenador de su universidad, pero no la del 42. Para cobrárselo también, Booker decidió que necesitaba la potencia de cálculo de una red mundial. Eso, y a alguien que pudiese manejarla. Reclutó a Andrew Sutherland, del MIT, especialista del cálculo con paralelismo masivo, es decir, del uso de numerosísimos computadores al mismo tiempo para que vayan ejecutando partes de un problema.

Los ordenadores fueron ofrecidos por Charity Engine, una organización que conjunta la capacidad de cálculo de máquinas privadas y la pone a disposición de proyectos que requieran grandes cálculos. Pero aun con más de medio millón de ordenadores compartidos no estaba garantizado el éxito; era bien posible que los números x, y y z tuviesen 50 dígitos o más. Por lo tanto, ha habido verdadera suerte en que el algoritmo haya podido dar tras más de un millón de horas de cálculo con una respuesta. Que es la siguiente: 42 = (-80.538.738.812.075.974)3 + 80.435.758. 145.817.5153 + 12.602.123.297.335.6313.

Aguardan ya las próximas tareas. Hasta 1000 hay diez números para los que no se conocen tres sumandos cúbicos.

Lars Fischer

Referencia: «Cracking the problem with 33», de  Andrew Booker en Research in Number Theory (2019) 5: 26.

Más información en la Universidad de Bristol.

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