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18 de Mayo de 2020
Matemáticas

Una prueba matemática de que uno de los tipos básicos de espaciotiempo es inestable

Las ecuaciones de Einstein describen tres configuraciones canónicas del espaciotiempo vacío. Se ha demostrado que una de ellas, importante en el estudio de la gravedad cuántica, es inestable.

La prueba consiste en inyectar una pequeña cantidad de materia en el espacio-tiempo, algo parecido a lanzar una piedra en un estanque. Las ondas ondulan hacia fuera y atrás e interactúan de manera que eventualmente acaban por crear un agujero negro. [DVDP para Quanta Magazine]

Hace cuatro años, Georgios Moschidis, que por entonces solo era un estudiante de doctorado de la Universidad de Princeton, abordó un problema que seguramente no iba a salirle bien. Su director de tesis le pidió que demostrase matemáticamente que cierta configuración del espaciotiempo es inestable. En otras palabras: le pidió que mostrase que, por pequeño que fuese, cualquier cambio conduciría a una ruptura del espaciotiempo mismo.

El director de tesis, el matemático Mihalis Dafermos, sabía lo difícil que iba a ser la tarea. «Podrías tirarte mucho tiempo dando cabezazos contra la pared y sin ir a ninguna parte», dice. Dafermos planteó (junto con Gustav Holzegel) la conjetura de la inestabilidad en 2006. «No creía que se fuera a demostrar nunca». Pero alentó a Moschidis, ahora investigador posdoctoral de la Universidad de California, Berkeley, a que echase un vistazo de todas formas. Moschidis había hecho ya trabajo suficiente para recibir el doctorado; entonces, ¿por qué no probar con algo grande?

La fe de Dafermos en Moschidis se ha justificado. En una serie de avances que empezaron en 2017 y que siguen hasta hoy mismo, Moschidis ha mostrado que una cierta configuración canónica del espaciotiempo einsteiniano, el espaciotiempo anti-De Sitter (AdS), es inestable. Basta con poner una cantidad minúscula de materia en el espacio AdS para que surja un agujero negro.

El matemático de Stanford Jonathan Luk dice que la obra de Moschidis es «asombrosa… Ha descubierto un mecanismo de inestabilidad bastante general» que se podría aplicar a otras situaciones, que no guardan relación con el AdS, en las que la materia o energía esté encerrada en un sistema físico sin escotillas de escape. Dafermos dice de lo que ha hecho su antiguo alumno que es «espectacular» y «ciertamente lo más original que he visto en las matemáticas de la relatividad general en los últimos años».

Y aunque no vivimos en un universo anti-De Sitter (afortunadamente, porque no existiríamos), el trabajo tiene también consecuencias para nuestro conocimiento de un sinfín de cosas, de la turbulencia a las misteriosas conexiones entre las teorías de la gravedad y la mecánica cuántica.

El crescendo gravitatorio

La conjetura de la inestabilidad, y la escuela entera de pensamiento que deriva de ella, tiene su raíz en las ecuaciones de Einstein de la relatividad general, que determina con exactitud el efecto de la masa y la energía en la curvatura del espaciotiempo. Aun en el vacío, donde no hay materia en absoluto, el espaciotiempo puede estar curvado y la gravedad estará presente como consecuencia de la densidad de energía del vacío mismo, descrita por una «constante cosmológica». Resulta que el espacio vacío no lo está en realidad.

Las tres soluciones más simples de las ecuaciones de Einstein para el vacío son las más simétricas, es decir, aquellas donde la curvatura del espaciotiempo es la misma en todas partes. En el espaciotiempo de Minkowski, donde la constante cosmológica es cero, el universo es perfectamente plano (curvatura nula). El espaciotiempo de De Sitter, cuya constante cosmológica es positiva, es el universo de curvatura constante positiva. Y cuando la constante cosmológica es negativa, se tiene el espaciotiempo anti-De Sitter, con una curvatura constante negativa (una silla de montar, por ejemplo, tiene curvatura negativa). En los primeros tiempos de la cosmología, los científicos se preguntaban cuál de esos tres espaciotiempos describía nuestro universo.

Los matemáticos, por su parte, tendían a preguntarse si esos espaciotiempos eran real, verdaderamente estables. Es decir, si se perturbaba un espaciotiempo vacío de cualquier forma, inyectándole algo de materia, por ejemplo, o enviando algunas ondas gravitatorias, ¿acababa asentándose en algo parecido al estado original? ¿O se convertía en algo sumamente diferente? Es el equivalente cósmico a tirar una piedra a un estanque: las ondas, ¿disminuirán gradualmente o se acumularán hasta formar un tsunami?

En 1986, un matemático demostró que el espaciotiempo de De Sitter es estable. Un par de matemáticos hizo lo mismo con el de Minkowski en 1993. El problema del AdS ha llevado más tiempo. El consenso general era que, al contrario que las otras dos configuraciones, es inestable, lo que significaba que los matemáticos tenían que seguir un enfoque completamente nuevo. «Se han creado muchas técnicas matemáticas para los problemas de estabilidad», dice Dafermos. «Pero la inestabilidad es un terreno completamente diferente, especialmente este tipo de inestabilidad», que por naturaleza no es lineal, lo cual la convierte en una situación intrínsecamente complicada, con unos cálculos correspondientes muy peliagudos.

Se sospechaba que el espaciotiempo AdS podría ser inestable porque se acepta que su frontera es reflectiva, así que «actúa como un espejo, de modo que ondas que diesen en ella retornarían», explica Dafermos.

«La reflexión en la frontera tiene sentido desde un punto de vista físico», dice Juan Maldacena, físico del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey. Se debe en parte a la curvatura del espacio AdS, pero hay una explicación más simple: la premisa sostiene el principio de conservación de la energía.

Si la frontera es, en efecto, reflectiva, nada puede irse indefinidamente hacia fuera en el espaciotiempo AdS. Por lo tanto, cualquier materia o energía que se pusiese en el sistema podría acabar concentrada, quizá hasta el punto en que se formase un agujero negro. La pregunta es: ¿ocurriría realmente eso? Y si fuese así, ¿qué mecanismo haría que la materia y la energía se acumulasen de tal manera en vez de seguir desperdigadas?

Moschidis imaginó un estar en medio del espaciotiempo AdS; sería como encontrarse dentro de una bola gigantesca cuyo borde o frontera estuviese en el infinito. Pero, y es una característica muy peculiar de este tipo de espaciotiempo, si se enviase una señal luminosa desde allí se alejaría hasta alcanzar la frontera en un tiempo finito y desde ella se recibirían fotones procedentes del infinito.

En vez de usar un rayo de luz, Moschidis introdujo en el AdS una forma de materia que es común en los modelos de la relatividad general, las llamadas partículas de Einstein-Vlasov, sin colisiones y, en su caso, sin masa. Estos sistemas de partículas crean ondas de materia concéntricas en el espaciotiempo, parecidas a las ondas que aparecen en el agua de un estanque. De las muchas ondas concéntricas creadas cuando se inserta bruscamente materia en ese espaciotiempo, las dos primeras son las mayores. Como contienen la mayor parte de materia y la energía, nos centraremos en ellas. La primera onda (u onda 1) se expandirá hasta la frontera, rebotará y se irá contrayendo a medida que retrocede hacia el centro. La segunda onda, la onda 2, hará lo mismo a continuación.

Cuando la onda 1 rebota en la frontera y se contrae hacia el centro, chocará con la onda 2, que estará todavía expandiéndose. Moschidis ha establecido que una consecuencia de las ecuaciones de Einstein es que en una interacción como esa la onda que se expande (la 2 en este caso) siempre transfiere energía a la que se contrae (la 1).

Cuando la onda 1 alcanza el centro, se expande de nuevo y se topa con la onda 2, que ahora se contrae. Esta vez es la onda 1 la que le imparte energía  a la 2. Este ciclo se puede repetir muchas, muchas veces.

Moschidis comprendió algo más: cerca del centro, las ondas ocupan menos espacio y la energía que llevan está más concentrada. Por eso, las ondas intercambian más energía durante la interacción cerca del centro que durante la interacción cerca de la frontera. El resultado neto es que la onda 1 le da más energía a la onda 2 en el centro que la onda 2 a la onda 1 en la frontera.

Tras numerosas iteraciones, la onda 2 va siendo más y más grande, al robarle energía a la onda 1. En consecuencia, la densidad de energía de la onda 2 no deja de aumentar. Llegado cierto punto, cuando la onda 2 se contrae hacia el centro, su energía se habrá concentrado tanto que se formará un agujero negro.

Esta es la prueba de la inestabilidad: Moschidis ha demostrado que cuando se añade una cantidad minúscula de materia a un espacio AdS, es inexorable que se formen uno o más agujeros negros. Sin embargo, el espaciotiempo AdS tiene, por definición, una curvatura uniforme en todas partes; quiere decir que no puede albergar objetos que distorsionen el espacio, como es el caso de los agujeros negros. «Si se perturba el espaciotiempo AdS y se espera lo suficiente», dice Moschidis, «se acabará teniendo una geometría distinta, una que contiene agujeros negros y ya no es AdS. Eso es lo que queremos decir con que es inestable».

Moschidis demostró recientemente la inestabilidad AdS para un tipo diferente de perturbación material (un campo de los llamados escalares); ha expuesto este trabajo, aún no publicado, en varias charlas académicas. «Como las ondas generadas por un campo escalar hacen las veces de las ondas gravitatorias», dice Dafermos, ello acerca a Moschidis al objetivo final: demostrar la inestabilidad de AdS en un verdadero vacío, donde la perturbación del espaciotiempo es estrictamente gravitatoria, sin la introducción de materia alguna.

El turbulento futuro del espacio AdS

La inestabilidad del espaciotiempo AdS tiene consecuencias importantes para el conocimiento de nuestro propio universo. En primer lugar, como el espaciotiempo AdS es inestable, no se trata «de algo que veamos en la naturaleza», explica Moschidis.

Pero «aunque el AdS no es real», dice, «nos puede todavía conducir al descubrimiento y estudio de fenómenos reales».

Por ejemplo,  la turbulencia surge cuando la energía se concentra desde escalas grandes en otras pequeñas, algo que Moschidis ha demostrado que puede ocurrir cuando se perturba el espaciotiempo AdS. Pero la turbulencia es un fenómeno muy común (y no bien conocido) que aparece en todo tipo de sistemas fluidos. El espaciotiempo AdS, al menos para alguien con las capacidades e inclinaciones de Moschidis, es un sistema «limpio» y hasta cierto punto simple con el que trabajar; por eso lo considera un «buen campo de pruebas teórico» para el estudio de la turbulencia. En una situación como la del espaciotiempo AdS, la turbulencia está causada por la gravedad, pero Moschidis cree que la herramienta matemática que ha creado podría servir para analizar la turbulencia que cunde en la mecánica de fluidos.

Ads figura también destacadamente en la llamada correspondencia AdS/CFT, una pista clave para la unificación de la mecánica cuántica con la gravedad en una teoría completa de la gravedad cuántica. Esa correspondencia afirma que un sistema gravitatorio en un espacio AdS equivaldría a un sistema cuántico no gravitatorio en una dimensión menos. «Se puede tomar un sistema mecanocuántico que no contiene la gravedad y describirlo, en cambio, con una teoría de la gravedad, no una en nuestro universo, sino una teoría de la gravedad en un universo AdS», dice Maldacena, que descubrió la correspondencia en 1997. Añade que la inestabilidad del AdS, que ha demostrado Moschidis, no afecta a la validez de la correspondencia.

El trabajo de Moschidis, combinado con la correspondencia AdS/CFT, podría servir también para iluminar el campo, más habitual, de la interacción entre partículas. Por ejemplo, Moschidis se vale de pequeñas perturbaciones del espaciotiempo AdS para crear agujeros negros. Este proceso guarda correlación, por vía de la correspondencia, con el proceso de termalización por el que los sistemas cuánticos llegan al equilibrio, un fenómeno casi ubicuo en el mundo real.

«Demostrar que AdS es inestable», concluye Moschidis, «no carece de interés».

Steve Nadis / Quanta Magazine

Artículo traducido por Investigación y Ciencia con el permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

Referencia: «The characteristic initial-boundary value problem for the Einstein-massless Vlasov system in spherical symmetry», de Georgios Moschidis, en arXiv:1812.04274 [math.AP].

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