13 de Abril de 2015
Matemáticas

Una teoría matemática de las arrugas

Un nuevo método ayuda a modelizar la aparición de pliegues en superficies curvas.

¿Hexágonos o laberintos? Un nuevo modelo ha conseguido explicar la aparición de dos fases en las arrugas que pueden formarse sobre una superficie: una caracterizada por la aparición de figuras hexagonales (izquierda) y otra laberíntica (derecha), con una transición en la que se observan ambos tipos de estructuras (centro). Las simulaciones numéricas del modelo matemático (arriba) coinciden con los motivos observados en experimentos de laboratorio (abajo). [N. Scoop et al. en «Curvature-induced symmetry breaking determines elastic surface patterns»; Nature Materials 14, 337-342, marzo de 2015.]

Cuando una uva se seca, su piel se arruga. El mismo tipo de surcos laberínticos aparecen en las huellas dactilares, ya que su formación depende de un mecanismo similar. Sin embargo, dicho proceso puede también generar motivos hexagonales, similares a los que lucen las bolas de golf. ¿De qué depende que surja una geometría u otra? En un artículo publicado en el número de marzo de Nature Materials, el matemático Jörn Dunkel y otros investigadores del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) han descrito un método que permite entender este tipo de procesos.

La formación de pliegues sobre una superficie se debe a la aparición de inestabilidades por pandeo. Cuando un material se comprime, experimenta primero una deformación uniforme y, a medida que la tensión aplicada aumenta, comienza a arrugarse. Pedro Reis y Denis Terwagne, dos de los coautores del artículo, estudiaron experimentalmente las inestabilidades por pandeo que aparecían en una película elástica delgada dispuesta sobre la superficie de una esfera. Al ir desinflándola poco a poco, comprobaron que aparecían dos tipos de motivos: bien hexagonales, bien laberínticos.

Para entender el proceso, solicitaron ayuda a los matemáticos del MIT. El siglo pasado, el ingeniero Warner Koiter, de la Universidad de Delft, formuló los principios matemáticos que gobiernan la deformación de una superficie elástica curvada. No obstante, resolver sus ecuaciones para estudiar la transición entre las distintas formas de arrugas —el caso que interesaba a Dunkel y sus colaboradores— revestía serias dificultades, debido a efectos no lineales relacionados con la curvatura de la superficie.

A partir de una serie de simplificaciones validadas experimentalmente, los investigadores lograron reducir las ecuaciones de Koiter a una expresión única, conocida como ecuación de Swift-Hohenberg, la cual puede resolverse por métodos numéricos. Gracias a ello, los expertos lograron identificar los parámetros relevantes en la aparición de un motivo u otro: la curvatura de la superficie y el espesor de la película elástica.

Por ejemplo, cuanto más curva es la superficie, más tienden las arrugas a adoptar formas hexagonales; cuanto más delgada es la película elástica, más laberínticos resultan los pliegues. Dunkel y sus colaboradores cuantificaron la relación entre estos parámetros y la forma de las arrugas. También observaron la aparición de una fase intermedia en la que coexistían estructuras hexagonales y laberínticas.

Las predicciones del modelo concuerdan con las observaciones. Dicho modelo parece ser además universal, por lo que se aplicaría tanto a sistemas macroscópicos como microscópicos. Afectaría a todo tipo de superficies curvas sometidas a una presión externa y podría explicar, entre otros fenómenos, el aspecto de las uvas pasas, la formación de las huellas dactilares o las circunvoluciones del cerebro.

Artículo técnico en Nature Materials; información adicional en Quanta Magazine.

—Sean Bailly/Pour la Science

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