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La hipótesis de Riemann

El misterio de los números primos y el mayor problema abierto de la matemática contemporánea.

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la llamada «función zeta de Riemann» son números complejos con parte real igual a 1/2. Esta gráfica muestra en distintos colores algunos de los valores de la función zeta en torno a la línea crítica. [Empetrisor, CC BY-SA 4.0, vía Wikimedia Commons]

En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann publicó un artículo de apenas nueve páginas titulado «Sobre el número de primos inferiores a una cantidad dada». En él se hacía una pregunta que incluso un niño en edad escolar podría entender: si consideramos un número cualquiera, ¿existe una fórmula que nos diga cuántos números primos menores que él hay?

Aquel artículo fue la única contribución de Riemann a la teoría de números. Prueba de su genio, fue también una de las mayores obras matemáticas de todos los tiempos. Una que daría lugar a un gran programa de investigación que continúa aún hoy y que planteó una pregunta que desde entonces atormenta a los matemáticos.

Dicha pregunta se conoce como hipótesis de Riemann, y forma parte de unos de los siete Problemas del Milenio propuestos en el año 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas. Quien la resuelva será obsequiado con un millón de dólares. Una recompensa que palidecería frente a haber resuelto el que el propio Instituto Clay, en su descripción oficial del problema, ha calificado como «probablemente, el mayor problema abierto hoy en matemáticas puras». ¿En qué consiste?

Los números primos pueden considerarse los «átomos» de los números naturales: los ladrillos básicos a partir de los cuales pueden construirse todos los demás números. Sin embargo, no parecen seguir ninguna pauta ordenada. Surgen de manera errática en la sucesión de los números naturales y, una vez encontrado un número primo, no hay ninguna manera de predecir dónde aparecerá el siguiente. No obstante, el misterio es aún mayor. En 1977, el matemático Don Zagier lo describió así:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles tan fuertemente que queden para siempre grabados en su corazón. El primero es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como las malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otras leyes que las del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen esas leyes con precisión casi militar.

Riemann supo hallar una brújula para orientarse en esa selva. En su artículo de 1859, demostró que la distribución de los números primos estaba completamente codificada en la estructura de una función de una variable: la extensión analítica de la función

ζ(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ··· ;

es decir, la suma de los inversos de todos los enteros positivos elevados a la potencia s, donde s es un número complejo (un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i denota la unidad imaginaria, o la raíz cuadrada de –1).

Dicha función se conoce hoy como función zeta de Riemann. El matemático alemán demostró que, si conociéramos todos los valores en los que esta función se hace cero, ζ(s) = 0, sería posible predecir la distribución de los números primos.

Semejante resultado constituiría por sí solo un resultado de primer orden. Pero, en su artículo, Riemann escribió algo más. Conjeturó que todos los ceros «interesantes» de la función zeta (una cantidad infinita de ellos) obedecerían un orden particular. En lugar de distribuirse al azar en el plano complejo, aventuró que todos ellos se dispondrían a lo largo de una misma línea: la recta formada por los números complejos con parte real igual a 1/2. 

Esta conjetura es la célebre hipótesis de Riemann. Y, si es cierta, querría decir que los números primos se comportan, en un sentido preciso, «de la mejor de la manera posible». 

Hoy la conjetura de Riemann ha sido comprobada numéricamente para billones de ceros de la función zeta, pero los matemáticos siguen a la espera de una demostración general. Una demostración que, debido al papel central que desempeñan los números primos en matemáticas, impregnaría casi todas las ramas de la disciplina.

En esta serie de cuatro entregas, Bartolo Luque, físico y profesor de matemáticas de la Universidad Politécnica de Madrid cuya labor docente y divulgadora ha sido reconocida con varios premios, explica de manera sencilla pero rigurosa la historia, el significado y la importancia de uno de los problemas matemáticos más hermosos y profundos de todos los tiempos.

 

La hipótesis de Riemann (I)

Caos en los números primos.

Bartolo Luque

Investigación y Ciencia, diciembre 2020

 

La hipótesis de Riemann (II)

El teorema de los números primos.

Bartolo Luque

Investigación y Ciencia, enero 2021

 

La hipótesis de Riemann (III)

Un secreto escondido en el plano complejo.

Bartolo Luque

Investigación y Ciencia, febrero 2021

 

La hipótesis de Riemann (y IV)

La música de los números primos.

Bartolo Luque

Investigación y Ciencia, marzo 2021

 

 

 

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