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1 de Enero de 2012
Matemáticas

La percolación, un juego de mosaicos aleatorios

Los modelos de percolación en dos dimensiones guardan una estrecha relación con la simetría conforme, un campo de enorme interés en teoría cuántica de campos y física estadística.

HUGO DUMINIL-COPIN

Maxime se encuentra pensativo. Su familia acaba de encargarle una misión de suma importancia: alicatar el suelo de la cocina con baldosas hexagonales. Por si fuera poco, sus hijos se pelean sobre el color de los azulejos. A uno le gustaría que fuesen amarillos; al otro, azules. Para evitar conflictos, Maxime decidirá los colores al azar: cada vez que coloque una baldosa, lo sorteará a cara o cruz.

Maxime lanza una moneda al aire. ¡Cara! El primer azulejo será amarillo. Después, obtiene una cruz. La baldosa contigua será azul. Maxime se pregunta ahora por el resultado. No tanto por la estética de su futura cocina, sino más bien sobre sus aspectos lúdicos. ¿Será posible atravesar la sala pisando solo baldosas azules adyacentes? Y, si camina sobre la línea que separa hexágonos azules y amarillos, ¿cuantos pasos necesitará para llegar desde la puerta hasta el muro opuesto? Aunque parezcan simples acertijos, las preguntas de Maxime han cautivado la atención de matemáticos y físicos durante más de un siglo.

El problema de la coloración aleatoria de un retículo —en este caso, el formado por los hexágonos— constituye un modelo de percolación en dos dimensiones. El origen etimológico de la palabra (del latín percolare, «colarse a través») hace referencia al paso de un líquido a través de un material poroso, como ocurre con el agua cuando atraviesa las partículas de café molido. Uno de los primeros estudios detallados del fenómeno data de 1957, cuando el ingeniero Simon Broadbent y el matemático John Hammersley presentaron un modelo de percolación para estudiar la manera en que la carbonilla obstruía las máscaras de gas. Desde entonces, el problema ha atraído la atención de expertos en las más diversas áreas, ya que aparece de una forma u otra en todo tipo de situaciones: la filtración de un fluido a través de un material poroso, la propagación de incendios o de epidemias, o la conductividad en un medio mixto formado por un conductor y un aislante, entre otros.

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