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1 de Julio de 2019
Historia de la ciencia

Gödel, Hilbert y el teorema de incompletitud

Cuando se arruinaron las esperanzas de hacer de la matemática una disciplina segura y reducible a pilares básicos.

Kurt Gödel (1906-1978). [DOMINIO PÚBLICO]

Hay resultados científicos que conmueven los cimientos de una disciplina e incluso, puede, de la visión del mundo mayoritariamente aceptada antes que ellos. La teoría de la evolución que Charles Darwin dio a conocer en El Origen de las especies (1859), el artículo que Albert Einstein publicó en 1905 —luego conocido como el de la teoría de la relatividad especial— o el de James Watson y Francis Crick de 1953 en el que explicaban la estructura de la molécula de la herencia, el ADN, constituyen buenos ejemplos en este sentido.

Otro botón de muestra corresponde a un artículo que publicó en 1931 el lógico natural de Brünn, entonces parte del Imperio austrohúngaro (hoy en la República Checa), Kurt Gödel (1906-1978). El trabajo conmocionó tanto a la matemática como a la filosofía, y arruinó las esperanzas de hacer de la matemática una disciplina segura, reducible a pilares tan básicos como los que proporciona la aritmética. Pero para entender el origen de la aportación de Gödel es preciso antes referirse a otra de las grandes luminarias de la matemática de finales del siglo XIX y primeras décadas del XX: David Hilbert (1862-1943).

David Hilbert y los fundamentos de la matemática
Lo que hizo Gödel fue dar una respuesta negativa a cuestiones que Hilbert planteó a comienzos del siglo XX, comenzando con la célebre conferencia «Problemas futuros de la matemática», que pronunció en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos (París, agosto de 1900). De los 23 problemas que en ella presentó, el segundo tenía el siguiente enunciado: «La compatibilidad de los axiomas de la aritmética: Demostrar que los axiomas no son contradictorios; es decir, demostrar que basándose en los axiomas no se podrá llegar jamás a resultados contradictorios mediante un número finito de deducciones lógicas».

En 1928, Hilbert volvió al tema que había planteado en 1900. Lo hizo durante otro Congresos Internacional de Matemáticos, el octavo, celebrado en Bolonia —fue entonces cuando los matemáticos alemanes decidieron volver a participar en aquellos encuentros, a los que no habían asistido desde después de la Primera Guerra Mundial—. Allí pronunció una conferencia, «Problemas de la lógica matemática», en la que trató del «problema de la decisión» (Entscheidungsproblem): «Demostrar si existe un algoritmo para decidir si una proposición matemática es una consecuencia lógica de otras».

El enfoque de Hilbert se englobaba en lo que se denomina «programa formalista», que exigía la formalización de la matemática clásica. Para lograr esto, Hilbert tenía que, en primer lugar, reemplazar los conceptos matemáticos por signos gráficos, las ideas por hileras de signos, los razonamientos por meras manipulaciones combinatorias de esas hileras y las demostraciones por deducciones formales conforme a reglas lógicas «mecánicas». A continuación, había que demostrar la consistencia de esos sistemas formales. Esto era, en realidad, lo que había hecho para la geometría en su libro Grundlagen der Geometrie («Fundamentos de la geometría», 1899).

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