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Un nuevo patrón en los números primos

Un experimento numérico muy sencillo revela que el primer dígito de los números primos obedece una curiosa ley.

Camino aleatorio: Caminos generados a partir del primer dígito para un conjunto de números naturales escogidos al azar del primer millón (gris) y para los números primos del mismo intervalo (rojo). Si el primer dígito del número considerado es un 9, no hay movimiento; en caso contrario, se avanza un paso en la dirección indicada por las flechas. Para los números naturales, el camino no presenta direcciones privilegiadas. En el caso de los números primos, sin embargo, la deriva hacia el «noreste» apunta a una sobreabundancia de unos. [Adaptado de «The first-digit frequencies of prime numbers and Riemann zeta zeros», Bartolo Luque y Lucas Lacasa en Proceedings of the Royal Society A, vol. 465, págs. 2197–2216, abril de 2009]

Puede que Dios no juegue a los dados con el universo,
pero algo extraño ocurre con los números primos
.

—Atribuido a Paul Erdős en referencia
a la famosa cita de Einstein

 

El primer dígito significativo de un número real es el primero a la izquierda distinto de cero. Por ejemplo, el primer dígito significativo del número primo 7703 es 7. Fue el físico Frank Benford quien, en los años treinta del siglo pasado, estableció empíricamente una chocante ley. Para una gran variedad de conjuntos de datos y secuencias matemáticas, el primer dígito significativo d de las cantidades correspondientes no se distribuía de manera uniforme, como tal vez cabría esperar, sino con un sesgo dado por lo que hoy llamamos «ley de Benford».

Dicha ley puede enunciarse como sigue: dado un conjunto de datos y dado un dígito d (1, 2, ..., 8, 9), la probabilidad P(d) de que d aparezca como primer dígito significativo en dichos datos viene dada por:

P(d) = log10(1 + 1/d) .

En otras palabras: contra toda intuición, los números de muchas grandes colecciones de datos tienen más probabilidades de empezar por 1 que por 2, por 2 que por 3, por 3 que por 4, etcétera.

En realidad, la ley fue descubierta por el astrónomo Simon Newcomb en 1881, quien observó que las tablas de logaritmos estaban notoriamente más gastadas en sus primeras páginas, por lo que dedujo que se consultaban mucho más aquellos números que empezaban por 1, 2 o 3 que aquellos que comenzaban por 7, 8 o 9. Con todo, Benford obtuvo el reconocimiento al documentarla en una tremenda variedad de datos, desde precios de acciones hasta puntos de congelación de sustancias o constantes físicas (véase la figura1). En todas estas listas, alrededor del 30 por ciento de los números comienzan por 1, mientras que aquellos que empiezan por 9 no alcanzan el 5 por ciento.

La ley de Benford, también conocida como ley de los números anómalos, permaneció como una curiosidad hasta que en los años sesenta comenzó a usarse en el diseño eficiente de ordenadores y, más tarde, en la detección de posibles fraudes en datos contables, declaraciones de impuestos, datos científicos experimentales e incluso elecciones (ya que, por ejemplo, si los datos contables de una empresa se alejan mucho de la ley de Benford, es más probable que estén falsificados).

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