Utilizamos cookies propias y de terceros para mejorar nuestros servicios y facilitarte el uso de la web mediante el análisis de tus preferencias de navegación. También compartimos la información sobre el tráfico por nuestra web a los medios sociales y de publicidad con los que colaboramos. Si continúas navegando, consideramos que aceptas nuestra Política de cookies .

Monstruos no derivables

La función de Takagi y otros ejemplos poco habituales en nuestra educación matemática.

Aspecto aproximado de la función de Takagi en el intervalo [0,1].

Seguro que ha oído más de una vez que, desde un punto de vista práctico, una función es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Digo «práctico» en referencia tanto a la posibilidad de representar la función como al tipo de funciones que solemos manejar, ya que a todos nos han enseñado ejemplos famosos que contradicen esa afirmación.

Uno de ellos es la función de Thomae, que vale 0 cuando x es irracional y 1/q cuando x = p/q, con p y q enteros en fracción irreducible. Intentar dibujar la función de Thomae, como hemos hecho en la figura 1, no nos revela que sea continua para el conjunto (denso) de los números irracionales en la recta real. Así que, cuando vemos por primera vez una función semejante, tendemos a clasificarla como una patología creada ad hoc.

En la educación matemática que recibimos tratamos casi exclusivamente con cocientes de polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas... funciones que son continuas y derivables a excepción de un número finito o, como mucho, un infinito numerable de puntos. Escondemos engendros semejantes a la función de Thomae en el sótano y los exhibimos como monstruos de feria para ilustrar exóticas excepciones.

Una de esas ocasiones se presenta cuando examinamos la relación entre continuidad y derivabilidad. En tal caso, solemos mostrar ejemplos como la función triangular que aparece en la figura 2. Esta modesta función lineal a trozos es continua en todos sus puntos y también derivable en todos ellos a excepción de los picos. Si, por ejemplo, consideramos el punto x = 1/2, veremos que la tangente a la función por la izquierda tiene pendiente +1 y por la derecha –1, de modo que no nos queda más remedio que concluir que la derivada no existe en ese punto. Ejemplos como este ilustran que la derivabilidad es una condición más exigente que la continuidad: si una función es derivable, entonces seguro que es continua, pero lo contrario no es necesariamente cierto.

Puedes obtener el artículo en...

¿Tienes acceso?

Los boletines de Investigación y Ciencia

Elige qué contenidos quieres recibir.