La suma de los primeros números naturales (I)

Un sencillo problema de cálculo pone de manifiesto que algunas demostraciones matemáticas se limitan a probar un resultado, mientras que otras, además, lo explican.

Carl Friedrich Gauss. [WIKIMEDIA COMMONS/DOMINIO PÚBLICO]

 

En 1784, tras su séptimo cumpleaños, el pequeño Gauss ingresó en una escuela pública de educación primaria donde impartía las clases un profesor llamado Büttner [... y en la que] pasó dos años sin especiales incidencias. Para entonces ya había comenzado la clase de aritmética, donde la mayoría de los alumnos permanecía hasta los 15 años. Allí ocurrió un incidente que el propio Gauss, ya de anciano, solía relatar de buena gana. [...] El joven Gauss acababa de entrar en clase cuando Büttner les mandó que sumaran una serie aritmética. Apenas había acabado de dictar el enunciado, cuando Gauss lanzó su pizarra sobre la mesa con las palabras: [...] «Aquí está». Mientras el resto de los alumnos seguían contando, multiplicando y sumando, Büttner caminaba de un lado a otro con dignidad premeditada, lanzando ocasionalmente una mirada irónica y compasiva al más joven de sus alumnos. [...] Al final de la hora, el profesor volvió las pizarras hacia arriba. La del joven Gauss, con un solo número, era la primera. Cuando Büttner dio la respuesta, para sorpresa de todos los presentes, resultó que la del joven Gauss era correcta, mientras que muchas de las otras estaban mal.

Wolfgang Sartorius von Waltershausen
Gauss zum Gedächtnis (1856)

 

Este verano leí la deliciosa novela gráfica El increíble viaje de Alexander von Humboldt al corazón de la naturaleza, de Andrea Wulf y Lilian Melcher, que narra el épico viaje del polímata Alexander von Humboldt (1769-1859) a América del Sur y Centroamérica, al tiempo que nos acerca al pensamiento del padre de la geografía moderna y el ecologismo [véase «Von Humboldt: el científico universal», por José Manuel Sánchez Ron; investigación y ciencia, diciembre de 2019]. Como una cosa lleva a la otra, acabé disfrutando tam­bién de la irreverente película Midiendo el mundo, dirigida por Detlev Buck en 2012, cuyos protagonistas son ni más ni menos que Von Humboldt, el «nuevo Aristóteles», y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas.

La película, que deviene una inesperada comedia, está basada en la exitosa novela alemana de 2005 La medición del mundo, escrita por Daniel Kehlmann. Tanto la novela como la película recrean una archiconocida anécdota sobre la temprana capacidad matemática de Gauss, según la cual, el maestro de su escuela pidió a los niños que sumaran los cien primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Al parecer, Gauss obtuvo la respuesta, 

1 + 2 + 3 + ··· + 99 + 100 = 5050,

 casi de inmediato, al percatarse de que 

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ··· = 101

 y de que había 100/2 = 50 de estos pares, por lo que bastaba con calcular 

50 × 101 = 5050. 

El divulgador matemático Brian Hayes, interesado en la evolución y transmisión de este tipo de historias que conforman el imaginario de la ciencia y las matemáticas, se propuso determinar hasta qué punto era veraz la socorrida anécdota. Así que se tomó la molestia de recopilar hasta 109 versiones publicadas, y concluyó que todas ellas procedían de la misma fuente: una biografía de Gauss publicada el mismo año de su muerte por un colega de la Universidad de Gotinga, el geólogo Wolfgang Sartorius von Waltershausen. Se trata del texto que encabeza esta columna, que no hace mención a la suma de los cien primeros naturales ni al truco que empleó Gauss para resolver el problema. Según Hayes, la primera alu­sión a ese detalle «aritmético» aparece en una biografía de Gauss escrita por el matemático nazi Ludwig Bieberbach en 1938, unos ochenta años después de que Sartorius redactara sus memorias.

Hayes concluyó que no hay pruebas de que la anécdota ocurriera realmente. Pero, como dicen los italianos, se non è vero, è ben trovato (que podríamos traducir como «si no es verdad, está bien pensado»), y los profesores de matemáticas podemos seguir contando esta anécdota simplemente añadiendo el adjetivo «apócrifa».

Y ahora, como una cosa lleva a la otra, imaginemos por un momento que la historia es cierta y que el joven Gauss sumó los cien primeros números naturales en un instante, haciendo uso de un atajo. Empecemos con el que se suele explicar y veamos qué dificultades presenta para convertirse en una demostración, así como otras rutas alternativas que conducen al mismo resultado.

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