A lo largo del pasado siglo, la teoría cuántica de campos ha demostrado ser la teoría física más amplia y exitosa jamás inventada. En realidad, se trata de un término genérico bajo el que se agrupan muchas teorías cuánticas de campos concretas, del mismo modo que el término «forma geométrica» engloba ejemplos como el cuadrado y el círculo. La más famosa de esas teorías es el modelo estándar de la física de partículas, un marco conceptual muy útil y que según David Tong, físico de la Universidad de Cambridge, «puede explicar a nivel fun­damental todos y cada uno de los experimentos realizados hasta la fecha».

Pero parece claro que la teoría cuántica de campos está incompleta. Ni los físicos ni los matemáticos saben exactamente qué es lo que convierte a una teoría en una teoría cuántica de campos. Aunque vislumbran retazos de la imagen completa, aún no logran distinguirla con nitidez. «Hay varios indicios de que podría existir una forma mejor de concebir la teoría cuántica de campos», afirma Nathan Seiberg, físico del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. «Es como un animal que pudiéramos tocar desde distintos ángulos, pero sin verlo entero.»

Las matemáticas, que exigen coherencia interna y atención al más mínimo detalle, son el lenguaje que podría servir para completar la teo­ría cuántica de campos. Si aprendiéramos a describir esa teoría con el mismo rigor con el que es­tán caracterizados otros objetos matemáticos, es probable que obtuviéramos una imagen más ca­bal del mundo físico. Según Robbert Dijkgraaf, director del Instituto de Estudios Avanzados, «si entendiésemos adecuadamente los aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos, podríamos resolver muchos problemas abiertos en física, quizás incluso el de la cuantización de la gravedad.»

Pero esta no es una vía de sentido único. Durante milenios, el mundo físico ha sido la gran musa de las matemáticas. Los antiguos griegos inventaron la trigonometría para estudiar los movimientos de los astros, aunque las matemáticas la transformaron en una materia con definiciones y reglas que hoy aprendemos sin ninguna referencia a sus orígenes celestes. Casi dos mil años más tarde, Isaac Newton quería entender las leyes de Kepler del movimiento planetario y buscó una manera rigurosa de pensar en los cambios infinitesimales. Sus ideas, junto a las contribuciones de Gottfried Wilhelm Leibniz, dieron origen al cálculo infinitesimal, que las matemáticas adoptaron y mejoraron, y sin el que hoy prácticamente no podrían existir.

Ahora, los matemáticos pretenden hacer lo mismo con la teoría cuántica de campos: tomar las ideas, objetos y técnicas desarrolladas por los físicos para estudiar las partículas elementales e incorporarlas al cuerpo de las matemáticas. Y eso implica definir los aspectos básicos de la teoría cuántica de campos, para que los futuros matemáticos no tengan que preocuparse del contexto físico en el que surgió la teoría.