Paradoja sin circularidad

Cómo formular versiones no circulares de paradojas de la verdad y la denotación.
DANIEL UZQUIANO
¿Qué cree usted que tienen en común las siguientes paradojas
semánticas?

Paradoja del mentiroso

Esta aparece cuando nos preguntamos sobre el valor de verdad de enunciados como el siguiente:

(1) El enunciado (1) no es verdadero.

Para analizarlo, basta con notar que:
(i)El enunciado (1) es «el enunciado (1) no es verdadero».
(ii)El enunciado «el enunciado (1) no es verdadero» es verdadero si y solo si el enunciado (1) no es verdadero.
Supongamos ahora que el enunciado (1) es verdadero. Se sigue de (i) que:
«El enunciado (1) no es verdadero» es verdadero.
Pero (ii) nos dice que ese solo puede ser el caso si el enunciado (1) no es verdadero. Por tanto, el enunciado (1) es verdadero solo si no es verdadero.
¿Qué ocurre si el enunciado (1) no es verdadero? Para verlo, supongamos que no lo es. En ese caso, se sigue de (ii) que:
«El enunciado (1) no es verdadero» es verdadero.
Pero (i) nos dice que ese solo puede ser el caso si el enunciado (1) es verdadero. Por tanto, el enunciado (1) no es verdadero solo si es verdadero.
¿Qué ha ocurrido? O bien el enunciado (1) es verdadero, o bien no. Si lo es, haciendo uso de la primera parte del razonamiento anterior deducimos una contradicción (que el enunciado (1) es y no es verdadero). Pero, si no lo es, también podemos concluir que el enunciado (1) es y no es verdadero. Vemos, por tanto, que cualquier hipótesis sobre el valor de verdad del enunciado nos lleva a una con-
tradicción.

Paradoja de Berry

Resulta posible emplear descripciones del lenguaje natural para definir números naturales. Por ejemplo, la descripción «el menor número natural» define el número 0. La paradoja de Berry aparece cuando nos preguntamos acerca de la denotación de descripciones como esta:

El menor número natural no definible en menos de treinta sílabas.

¿A qué número natural nos estamos refiriendo? El número de descripciones de menos de treinta sílabas es finito; sin embargo, el conjunto de los números naturales es infinito. Por tanto, deben existir números naturales que no puedan definirse con menos de treinta sílabas, en cuyo caso el menor de ellos ha de existir también. Llamémosle n. Tenemos entonces que:
(i)La descripción «el menor número natural no definible en menos de treinta sílabas» define el número n.
(ii)La descripción «el menor número natural no definible en menos de treinta sílabas» define el número n si y solo si n es el menor número natural no definible en menos de treinta sílabas.
El problema reside en que la expresión «el menor número natural no definible en menos de treinta sílabas» cuenta con menos de treinta sílabas (posee veintitrés). Dado que (i) nos dice que dicha expresión define el número n, se sigue que n es definible en menos de treinta sílabas. Sin embargo, la combinación de esta observación con (ii) nos fuerza a concluir que «el menor número natural no definible en menos de treinta sílabas» no define el número n.
Si, por el contrario, la expresión anterior denota el número n, entonces (dado que esta cuenta con menos de treinta sílabas) n resulta ser definible en menos de treinta sílabas. Se sigue que existe un número natural que es y no es definible en menos de treinta sílabas.

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