La suma de los primeros números naturales (II)

Algunas demostraciones conectan este sencillo problema aritmético con la combinatoria, la teoría de grafos o el análisis matemático.

Los números tetraédricos se construyen a partir de los números triangulares del mismo modo que estos a partir de los naturales. [CaptureLight/iStock]

En mi anterior columna, vimos que la famosa anécdota que cuenta cómo el joven Gauss sumó los cien primeros números naturales, 

1 + 2 + 3 + ··· + 100 = 5050,

es apócrifa. Pero, aunque no tengamos pruebas de que esa historia sea cierta, nos sirvió igualmente para ilustrar y comparar distintas maneras de obtener la suma de los primeros n números naturales, 

T(n) = 1 + 2 + 3 + ··· + n = n(n+1)/2.

A partir de la prueba por «caligrama matemático» que suele acompañar a la anécdota (y que consiste en sumar el primer y último término, el segundo y el penúltimo...), discutimos el concepto de casualidad matemática y la diferencia entre las demostraciones que solo prueban un resulta­do, como las basadas en la inducción matemática, y aquellas que además lo explican, como los caligramas y las pruebas visuales. Estas últimas no se consideran demostraciones rigurosas, pero las pusimos en valor al mostrar que pueden clarificar el problema y señalar el camino hacia una prueba formal y rigurosa, que en nuestro caso conseguimos usando el formalismo de los sumatorios.

En esta segunda parte de la columna, conti­nuaremos examinando otras formas en las que el pequeño Gauss podría haber obtenido la respuesta y discutiendo hasta qué punto resultan explicativas. Y, además, comprobaremos que reformular el problema nos permite encontrar su solución en varias áreas inesperadas de las ma­temáticas.

Demostraciones automáticas

Pero ¿qué quiero decir con «reformular»? Observemos que, si conocemos el valor de T(n1), bastará con sumarle n para obtener T(n). Así, podemos expresar el problema de hallar la suma de los primeros números naturales mediante una ecuación de recurrencia, 

T(n) = T(n1) + n,

que tiene como solución dicha suma. Esta refor­mulación del problema abre la posibilidad de utilizar un sencillo algoritmo de demostración automática que permita a un ordenador deducir la fórmula de T(n). Tal prueba constaría de los siguientes pasos:

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