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Historia de las matemáticas

El último genio universal

Un recorrido divulgativo del pensamiento de Leibniz con interés para historiadores, profesores, estudiantes y el público general.

LEIBNIZ
LAS MATEMÁTICAS DEL MEJOR MUNDO POSIBLE
Manuel García Piqueras
Nivola, 2020
200 págs.

Gottfried Wilhelm Leibniz fue un sabio universal de espíritu fáustico; eminente jurista, filólogo, historiador, teólogo, inventor, diplomático, naturalista y físico, y egregio en todas las ramas del saber, sobre todo en filosofía y matemáticas. Con inusitada capacidad para trabajar en todo lugar, momento y condición, Leibniz aunaba lectura, pensamiento y escritura en una vida errabunda, plena de actividad social, en la que su excepcional talento, su carácter afable y optimista, su don de gentes y su poliglotía le relacionaron con los personajes más ilustres de Europa.

La filosofía natural le llevó a estudiar matemáticas. Bajo la orientación de Huy­gens leyó con fascinación a los grandes matemáticos del siglo XVII, y con Fermat, Descartes y Pascal alcanzó el éxtasis mental. Persiguió la idea de Ramon Lull de un lenguaje simbólico universal para expresar todo pensamiento sin ambigüedades y resolver mediante el cálculo y la lógica toda polémica o contencioso, lo que puede entenderse como un antecedente de la lógica matemática de Boole y Russell.

Como artífice de notaciones perennes, Leibniz creó un universo matemático donde símbolos y términos eran el soporte de conceptos y métodos. Destacan los índices como números para indicar la posición, que Leibniz aplicó con genio a la combinatoria, a famosas series infinitas y a la idea de determinante. Pero fue en el cálculo infinitesimal donde Leibniz, junto con Newton, dejó una huella eterna, al reducir la ingente casuística de técnicas para resolver problemas geométricos a un cálculo operacional, que unificaba los distintos métodos y que resolvía de modo uniforme los problemas, con eficaces algoritmos universales independientes de la estructura geométrica. Para Leibniz, la tangente a una curva dependía de la razón entre las diferencias infinitesimales de ordenadas y abscisas, y el área dependía de la suma de los rectángulos infinitesimales que componen una figura. La amplitud intelectual de Leibniz podría proceder de muchos pensadores, y lo que hizo en cada campo del saber podía haber llenado toda la vida de un solo sabio [véase «El arte de editar a Leibniz», por Eberhard Knobloch; Investigación y Ciencia, mayo de 2013].

En Leibniz: Las matemáticas del mejor mundo posible, Manuel García Piqueras, matemático de la Universidad de Castilla-La Mancha, nos da a conocer buena parte del pensamiento de este genio universal, tanto desde el punto de vista de sus obras, correspondencias o artículos, como en relación con los personajes que influyeron en su creatividad, sus constantes viajes por Europa y su influencia ulterior en la filosofía, la ciencia y la tecnología. Todo ello auxiliado por una copiosa cantidad de notas y una amplia bibliografía. Al tomar como referencia las ramas matemáticas que aparecieron en el siglo XX, el autor ha seleccionado las partes de la obra leibniziana que se consideran de mayor interés para construir cada capítulo. Los resultados se presentan sin excesiva carga matemática, lo que permite que un estudiante de bachillerato pueda seguir sin dificultades el hilo de la argumentación.

Leibniz anunció en 1671 dos máquinas que había imaginado: una para la aritmética y otra para la geometría. La primera se proponía realizar las cuatro operaciones básicas de manera mecánica. La segunda anunciaba una nueva forma para determinar ecuaciones analíticas y las proporciones y transformaciones de figuras sin tablas, cálculo o el dibujo de líneas. Una auténtica quimera que no llegó a materializarse en una máquina física, pero que se hizo realidad en su cálculo infinitesimal.

En cuanto a la máquina aritmética, lo que llamaba la atención era la ejecución de las cuatro operaciones: suma, diferencia, multiplicación y división. En las últimas versiones incluso intentó el cálculo de raíces. El proyecto de Leibniz consistía en automatizar la multiplicación mediante sumas reiteradas, y la división a partir de diferencias sucesivas. Presentó su primer modelo en 1673, aunque no del todo operativo, ante la Real Sociedad de Londres, y durante toda su vida procuró subsanar las diversas deficiencias mecánicas. La máquina aritmética fue una invención brillante, pero nunca se concluyó de forma adecuada durante la vida del sabio, ya que las dificultades eran colosales para la tecnología de engranajes de la época. Los sucesivos intentos de continuas mejoras quedan muy bien datados y reflejados, tanto de forma gráfica como textual, por García Piqueras.

Leibniz introdujo el sistema numérico binario como un símbolo de la creación divina del mundo a partir de la nada, lo que llegó a expresar en la frase «para obtener todo de la nada, uno es suficiente», que formula una íntima conexión entre el significado matemático de los números y su filosofía de las mónadas, las unidades últimas de la existencia. Describió una calculadora mecánica para sumar y multiplicar mediante la combinación del cero y el uno, en la que la caja de engranajes de la máquina aritmética sería reemplazada por pequeñas bolas de metal que rodarían por efecto de la gravedad sobre un plano. Desde el punto de vista lógico, la máquina binaria descrita por Leibniz puede considerarse precursora de la primera computadora binaria, la base sobre la que después se ha edificado el procesamiento de datos, lo que permite señalar a Leibniz como el primer exponente del universo digital.

Antes de entrar en el cálculo infinitesimal —quizá lo más conocido por la mayor parte del público—, García Piqueras pasa revista a los antecedentes históricos de una forma concisa pero muy ilustrativa. Casi al final, el autor desarrolla una interesante digresión sobre la teoría de la complejidad en relación con el pensamiento y el trabajo de Leibniz, quien consideraba más importantes los métodos y los algoritmos que los resultados; sentía pasión por lo mecánico, fue consciente de la enorme utilidad del sistema binario y supo ver la relación existente entre aleatoriedad, complejidad y leyes naturales. Sin embargo, el principio de razón suficiente (que todo sucede por una razón) le impidió avanzar hacia la citada teoría de la complejidad.

Por otro lado, fue el principio de razón suficiente lo que empleó Leibniz en su pugna contra la herejía de Spinoza: «El universo y Dios son una misma cosa». De hecho, utilizó este principio para justificar la existencia de Dios: «Debe haber alguna razón para la existencia del universo, y no es otra que la decisión divina de crear el mejor de los mundos posibles». Así, su dios matemático maneja una función que maximiza el bien del mundo [véase «Leibniz y el principio de mínima acción», por Hartmut Hecht; Investigación y Ciencia, diciembre de 2016]. Y lo hace con sus restricciones, ya que las infinitas variables que admite han de ser compatibles entre sí. Los átomos que forman esas variables son las llamadas mónadas de la naturaleza, pertenecientes a un universo inteligible y abarcable, regido por una armonía universal. Vivimos, pues, en el mejor de los mundos posibles, el cual Dios decidió crear a partir de un conjunto de reglas cuando resolvió un problema de optimización matemática. No obstante, Leibniz era muy consciente tanto de la existencia del mal en el mundo como del sufrimiento personal, lo que, frente a la ironía del Cándido de Voltaire, dejó patente en alguna de sus obras en forma de optimismo trágico.

Todo esto y más lo encontrará el lector en el libro de García Piqueras, presentado paso a paso y fecha a fecha, en un lenguaje atractivo e inteligible que nos acerca todo lo que reveló la desbordante imaginación de Leibniz para plantear eminentes cuestiones filosóficas, teológicas, mecánicas y matemáticas, así como para abordar otras aún abiertas.

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