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1 de Septiembre de 2016
Reseña

Teoría de números

Una introducción a las formas modulares no apta para todos los públicos.

SUMMING IT UP
FROM ONE PLUS ONE TO MODERN NUMBER THEORY
Avner Ash y Robert Gross
Princeton University Press, 2016

La teoría de números resulta fascinante, entre otras cosas, porque muchas de las preguntas o conjeturas que maneja son fáciles de entender por el público general. Sin embargo, las respuestas o las demostraciones suelen ser extremadamente difíciles y técnicas, hasta el extremo de que, a menudo, los especialistas han tardado siglos en resolverlas y muchas siguen aún abiertas.

En el intento de solucionar tales problemas, de apariencia tan inocente que parecen sacados de un libro de pasatiempos, se han generado una gran cantidad de nuevas matemáticas e incluso áreas que antes no existían. La primera frase de Summing it up, «Sumar dos números enteros es una de las primeras cosas que aprendemos en matemáticas», es, en este sentido, toda una declaración de intenciones.

El tema principal del libro será jugar con las sumas, y ese juego nos llevará de manera natural a su objetivo principal: las formas modulares, el instrumento del análisis complejo más fecundo en la teoría de números moderna. Que, como ejemplo de lo que comentábamos antes, ha acabado aplicándose a áreas tan aparentemente alejadas de su nacimiento como la teoría de cuerdas o la topología algebraica.

Los autores de Summing it up, Avner Ash y Robert Gross, son profesores de matemáticas en el Boston College. Esta obra es la última de una trilogía sobre teoría de números pensada para un público con conocimientos generales de matemáticas. Fue antecedida por Elliptic tales: Curves, counting, and number theory primero y luego por Fearless symmetry: Exposing the hidden patterns of numbers, de los mismos autores y publicados también por Princeton University Press. El primer libro discute cuestiones como las ecuaciones diofánticas y el último teorema de Fermat. El segundo trata sobre problemas relacionados con las curvas elípticas, como la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, uno de los famosos Problemas del Milenio del Instituto Clay. Los tres libros pueden leerse de manera independiente.

Summing it up está dividido en tres partes. La primera, «Sumas finitas», comienza con una aburrida lista de conceptos básicos en teoría de números: máximo común divisor, identidad de Bézout, primos, congruencias, teorema de Wilson, residuos cuadráticos... para pasar después a abordar la cuestión, respondida en su momento por Fermat, de qué números pueden expresarse como suma de dos cuadrados.

Una vez se está enganchado al problema, resulta inevitable que surjan más preguntas similares: ¿qué números pueden expresarse como suma de tres, cuatro o cinco cuadrados? Hasta llegar, en el capítulo 3, a la demostración, debida originalmente a Legendre, de que todo entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados, y acabar con el mismo problema generalizado más allá de los cuadrados a potencias arbitrarias k. La generalización se conoce como problema de Waring, y hoy en día sigue siendo objeto de investigación.

Tras este calentamiento, el libro pasa a abordar en el capítulo 5 sumas como 1 + 2 + 3 + ... + n y 12 + 22 + 32 + ... + n2, hasta alcanzar la idea de Pascal para sumar 1k + 2k + 3k + ... + nk usando series telescópicas. De manera natural, aparecen así los números y los polinomios de Bernoulli.

La segunda parte, llamada «Sumas infinitas», comienza con una digresión sobre series geométricas, series binomiales y su extensión a potencias reales. Sigue con la presentación de la función exponencial en variable compleja, las series de potencias y el concepto de continuación analítica. Se presenta la función zeta de Riemann y su conexión con los números de Bernoulli, así como el concepto de función generatriz y de series de Dirichlet para realizar un primer acercamiento al famoso problema de las particiones: ¿de cuántas maneras podemos escribir un número n como suma de otros enteros positivos?

Si hasta aquí llevamos unas 120 páginas, la tercera parte, titulada «Formas modulares y sus aplicaciones» ocupa casi el mismo espacio. Tras comenzar con nociones de geometría hiperbólica y teoría de grupos, se definen las transformaciones lineales fraccionarias y, finalmente, las formas modulares.

Tradicionalmente, cierto tipo de funciones han recibido el nombre de «formas»; por ejemplo, un polinomio f(v) es una «forma de peso k» si f(av) = akf(v). Una forma modular de peso k se define como una función f(z) analítica en el semiplano superior complejo, que cumple:

f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)k f(z) ,

(donde a, b, c y d son los elementos de una matriz bidimensional de determinante uno, adbc = 1) y cuyo módulo permanece acotado cuando la parte imaginaria tiende a infinito. Tras presentar las expansiones-q, las series de Eisenstein y los grupos congruentes, se acaba retomando el problema de las particiones presentando la relación entre la función de partición, introducida previamente, con las formas modulares [véase «El oráculo de Ramanujan», por Ariel Bleicher; Investigación y Ciencia, agosto de 2014].

Según los autores, con conocimientos elementales de álgebra y geometría de bachillerato, y con conocimientos básicos sobre series infinitas y cálculo diferencial e integral, el libro puede seguirse. La obra ambiciona, tal y como se explicita en prefacio, hacer comprensible a una audiencia con nociones generales de matemáticas ciertas ideas de la teoría de números. Los autores parecen creer que el libro puede ser entendido por lectores que solo han cursado un año de cálculo. Desde mi punto de vista, se trata de una pretensión muy optimista, por no decir descabellada.

Dudo que pueda escribirse un libro sobre formas modulares accesible para estudiantes con ese nivel. Es cierto que Ash y Gross se toman su tiempo en definir términos y conceptos matemáticos generales, como espacio vectorial o grupo. Pero siempre lo hacen brevemente por razones de espacio, y parece necesario un alto grado de madurez matemática para seguir los razonamientos. Se necesita tiempo y cierta familiaridad con tales cuestiones para asimilar todos los nuevos conceptos antes de pasar a los siguientes. Por ejemplo, en poco más de diez páginas, se pasa de las transformaciones de la función exponencial en el plano complejo y la geometría hiperbólica, a grupos matriciales y transformaciones lineales fraccionarias. Algo que, sin duda, resultará excesivo para alguien que carezca de una buena formación matemática.

Si bien no recomendaría el libro al público que proponen los autores, sí que lo haría a profesionales interesados en una introducción a las formas modulares. Resulta difícil encontrar literatura accesible y el libro es una buena primera aproximación al tema. Más allá de eso, creo que la obra refleja, con la selección de temas y la forma de presentarlos, la actividad que desarrollan los matemáticos que trabajan en teoría de números. En palabras de Ash y Gross: «La pregunta genera teoría, la teoría genera nuevas preguntas, y las conjeturas nos guían a lo largo del camino».

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