La vida del matemático francés Évariste Galois (1811-1832) fue corta y tumultuosa; murió a la edad de veinte años en circunstancias trágicas. Sin embargo, a pesar de la brevedad de su obra, que apenas ocupa 60 páginas, sus hallazgos marcarían profundamente la historia de las matemáticas. Realizó varios descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinómicas, donde halló un criterio para determinar bajo qué condiciones un polinomio podía resolverse por radicales. A Galois debemos también la emergencia de las nociones de grupo y cuerpo finito, estructuras matemáticas que hoy desempeñan un papel clave en numerosos campos.

A continuación repasaremos algunas de esas contribuciones. Comenzaremos por las ecuaciones polinómicas y los números complejos, para llegar después a las ecuaciones en congruencias. Estas nos permitirán introducir la noción de cuerpo finito, la cual nos servirá para presentar una de sus aplicaciones modernas: la criptografía asimétrica.

¿Puede escribirse la solución?

Las ecuaciones que nos interesan poseen una sola incógnita, a la que llamaremos x, y constan de una suma términos en potencias positivas de dicha incógnita: x, x², x³, etcétera. La mayor potencia de todas recibe el nombre de grado de la ecuación.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado son elementales. Consideremos, por ejemplo, 3x – 5 = 0. La solución se obtiene sumando a ambos lados de la igualdad el término constante (5, en este caso) y dividiendo después por el término lineal (3). Este método nos permite hallar el valor de x que satisface la ecuación: x = 5/3.

En cuanto a las ecuaciones de segundo grado, su forma más general puede escribirse como ax² + bx + c = 0, donde a, b y c denotan tres coeficientes conocidos, y a ≠ 0. Un ejemplo lo hallamos en la ecuación x² – x – 1 = 0, una de cuyas soluciones es la proporción áurea.