El billar como computador analógico

Cómo calcular el máximo común divisor de dos números, sobrevivir en La jungla
de cristal y obtener los decimales del número pi empleando un billar.

El billar aporta un modelo mecánico sencillo cuya idealización ha encontrado varias aplicaciones en matemáticas. GETTY IMAGES/BABUSHKA_P90/ISTOCK

Las matemáticas y el billar han mantenido siempre una fructífera relación. En 1835, el ingeniero y matemático francés Gaspard-Gustave de Coriolis publicó el efecto que lo haría célebre y también su Teoría matemática de los efectos en el juego del billar, donde demostró por primera vez cómo había que golpear una bola para conseguir trayectorias parabólicas sobre la mesa de juego.

Pero no solo las matemáticas han hecho avanzar al billar; también ha ocurrido al revés. Por ejemplo, los modelos de billar de los matemáticos Yákov Sinái (una mesa con un disco de rebote en el centro) o de Leonid Bunimóvich (en forma de estadio olímpico) desempeñaron un papel relevante en el nacimiento de la disciplina del caos cuántico.

En las líneas que siguen exploraremos tres casos en los que usaremos una mesa de billar como máquina analógica de cómputo: una para calcular el máximo común divisor de dos números, otra para determinar trasvases de líquidos entre recipientes, y una última que nos permitirá obtener tantas cifras decimales como deseemos del número π.

El billar de Zavrotsky

En abril de 1961, el matemático venezolano Andrés Zavrotsky patentó un aparato óptico capaz de calcular el máximo común divisor de dos números. En su libro El billar no es de vagos, Carlos Bosch nos cuenta cómo podemos usar un billar para emular la máquina de cómputo analógico de Zavrotsky.

Supongamos que deseamos encontrar el máximo común divisor de 6 y 4. Para ello emplearemos una mesa de billar rectangular de dimensiones 6 × 4, a la que asignaremos coordenadas de tal modo que la esquina inferior izquierda coincida con el origen (0,0), como vemos en el primer diagrama de la figura 1. Tanto en este caso como en los que siguen, supondremos que todas las colisiones son perfectamente elásticas; es decir, sin rozamiento ni pérdidas de energía.

En este billar de Zavrotsky comenzaremos siempre golpeando la bola desde el origen con un ángulo de 45 grados. En nuestro ejemplo vemos que, después de tres rebotes, la bola alcanza uno de los vértices: el de coordenadas (0,4), donde supondremos que se detiene. En su camino, la bola ha rebotado en el eje x en el punto (4,0). Y la mitad de la distancia de este punto al origen es 2: el máximo común divisor de 4 y 6. ¿Casualidad?

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