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1 de Septiembre de 2012
Matemáticas

Por qué toda clasificación es imperfecta

¿Se ha preguntado alguna vez quién o qué determina las clasificaciones? ¿Se trata de opiniones subjetivas, o hay algo más profundo?
TONY CORDOZA, GETTY IMAGES
Las decisiones relativas a los productos que compramos, las páginas de Internet que visitamos, las películas que vemos e incluso las universidades a las que van nuestros hijos se ven afectadas por la existencia de rankings, o tablas clasificatorias. Pero ¿se ha preguntado alguna vez quién o qué las determina? ¿Se trata de opiniones subjetivas, o hay algo más profundo?
Pongámonos en el lugar de Mark Zuckerberg cuando puntuó y clasificó a las estudiantes de Harvard en Facemash, el predecesor de Facebook. El método más sencillo habría consistido en pedir a la gente que votase a su favorita y, después, otorgar a cada estudiante tantos puntos como número de votos recibidos. Sin embargo, en muy raras ocasiones son todos los votos iguales: en general, el de alguien desinformado no resultará tan valioso como el de un experto. En el caso de Facemash, el sexo de los votantes seguramente desempeñase algún papel.
El problema reside en que asignar un peso a cada votante no suele resultar factible, más aún si se desconoce su identidad. Una alternativa consiste en recurrir al sistema de las Bowl Championship Series (BCS), empleado para clasificar a los equipos universitarios de fútbol americano. Aplicado a una lista de las diez estudiantes más guapas, funcionaría de la siguiente manera: se pide a los votantes que asignen 10 puntos a su favorita, 9 a la segunda, etcétera. La clasificación final se obtendría al sumar las puntuaciones obtenidas por cada una.
No obstante, la mayoría de los aficionados al fútbol americano prefieren que los equipos sean clasificados según los resultados que obtienen en competiciones reales. De hecho, la presión del público es tal que los responsables de la competición anunciaron el pasado mes de abril que estaban sopesando la posibilidad de realizar eliminatorias para la liga de 2014. Zuckerberg sabía instintivamente que efectuar comparaciones directas constituía un método mucho mejor para elaborar una clasificación. Por ello, estableció un sistema de cotejo por parejas, basado en mostrar dos fotografías y preguntar cuál de las dos estudiantes era la más atractiva. Después, establecer una valoración resulta sencillo: se asigna un punto a la ganadora y cero a la perdedora (o medio punto a cada una en caso de empate).
¿Cómo se transforma lo anterior en una clasificación? Arpad Elo, físico de origen húngaro y gran aficionado al ajedrez, propuso establecer un nivel medio de rendimiento para cada ajedrecista a partir de sus resultados en las competiciones. Una vez que un jugador tuviese una puntuación, esta solo se alteraría en la medida en que la persona consiguiese resultados superiores o inferiores a su media. La idea de Elo fue perfeccionada más tarde, cuando el rendimiento medio de cada jugador se sustituyó por un valor relativo que reflejaba la actuación que se esperaba de él al enfrentarse a otro individuo. Así, la diferencia entre la puntuación de dos jugadores debía sugerir lo que cabría esperar en caso de que se enfrentasen.
La elegante idea de Elo se ha aplicado a todo tipo de deportes, incluidas las dos variantes del fútbol, si bien el método debe adaptarse a las características específicas de cada competición. Con todo, nunca podremos decir que ninguno de ellos sea la mejor forma de establecer clasificaciones, pues el «método óptimo» no existe: en 1951, el matemático y economista Kenneth Arrow demostró que no puede haber un sistema de clasificación óptimo que, a la vez, satisfaga unos criterios mínimos de equidad. De modo que la controversia continuará, y los encargados de elaborar las tablas clasificatorias deberán seguir precisando y adaptando sus sistemas para ajustarlos a las necesidades de cada caso.

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