Las leyes del azar y el libre albedrío

Las cadenas de Márkov, uno de los modelos estocásticos más usados en ciencia e ingeniería, fueron fruto del enfrentamiento filosófico entre dos matemáticos.

La ley de los grandes números determina el comportamiento a largo plazo de las variables aleatorias con ciertas características. [GETTY IMAGES/RA3RN/ISTOCK]

La dicotomía entre predestinación y libre albedrío ha sido objeto de debate entre teólogos, filósofos y científicos desde hace siglos. La constatación matemática de que algunos eventos aleatorios, como el lanzamiento de una moneda, presentan estabilidad a largo plazo (es decir, que el resultado promedio de un gran número de observaciones se aproxima a un cierto valor) condujo a una pregunta controvertida: ¿era eso aplicable también a las conductas humanas, aparentemente derivadas del libre albedrío?

En el artículo de este mes, hablaremos de un matemático que intentó dar una respuesta negativa a esa cuestión. Y de otro que, con el ánimo de rebatirla y guiado por una profunda animadversión hacia su colega, creó un célebre y provechoso modelo estocástico.

Teoremas de estabilidad

A principios del siglo XVIII, la ley de los grandes números, demostrada por Jacob Bernoulli (1654-1705), se publicó en una obra póstuma de título sugerente: Ars conjectandi («El arte de la conjetura»). Bernoulli propuso estimar la probabilidad desconocida de un evento a partir de la frecuencia con que este se producía en un gran número de ensayos independientes, y demostró que esa estimación se acercaba más y más al valor real a medida que aumentaba el número de ensayos.

La ley de los grandes números nos permite, por ejemplo, usar el método de Montecarlo para computar el número p con precisión arbitraria. Basta con inscribir un círculo en un cuadrado y observar que el cociente entre sus áreas es p/4. Así que, si lanzamos sobre la superficie del cuadrado n puntos al azar y multiplicamos por cuatro la proporción de los que caen en el círculo, obtendremos una aproximación a p que irá mejorando conforme crece n.

Bernoulli formalizó matemáticamente una idea que ya había insinuado Gerolamo Cardano (1501–1576) en el Renacimiento: es posible determinar si una moneda es justa o no lanzándola al aire muchas veces. Podemos registrar el resultado del primer lanzamiento mediante una variable aleatoria X1, a la que asignaremos el valor 1 si sale cara y 0 si sale cruz. De igual modo, X2 valdrá 1 si sale cara en el segundo lanzamiento y 0 si sale cruz, y así sucesivamente. Por lo tanto, 

Y = X1 + X2 + ··· + Xn 

será el número total de caras en n lanzamientos. Bernoulli demostró que Y/n, la proporción de caras en n lanzamientos, se acerca más y más a la probabilidad de que salga cara en nuestra moneda a medida que aumenta n. Así que, para una moneda justa, Y/n se aproximará a 1/2.

La ley de los grandes números que demostró Bernoulli, hoy denominada ley débil de los grandes números, es un resultado sobre la estabilidad a largo plazo del valor medio de una suma de variables aleatorias con ciertas características. Actualmente, los matemáticos conocen muchos teoremas de estabilidad en el ámbito de la teoría de la probabilidad. Constituyen el orden oculto detrás de lo aleatorio y suelen designarse con el oxímoron «leyes del azar».

Puedes obtener el artículo en...

¿Tienes acceso a la revista?

Los boletines de Investigación y Ciencia

Elige qué contenidos quieres recibir.