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Las leyes matemáticas de la conectividad

La teoría de la percolación está iluminando el comportamiento de sistemas muy diversos, desde las conexiones entre teléfonos móviles hasta las redes de contagio de una enfermedad.

La teoría de la percolación permite analizar el grado de conectividad de una red. Sus resultados tienen importantes aplicaciones en áreas tan dispares como las telecomunicaciones o la epidemiología. [KOTRYNA ZUKAUSKAITE]

En síntesis

Numerosos sistemas en telecomunicaciones, epidemiología y otros campos comparten una propiedad: pueden modelizarse matemáticamente mediante una red, un sistema muy sencillo consistente en un conjunto de nodos unidos entre sí.

Una propiedad clave de toda red atañe a su grado de conectividad. La teoría de la percolación, un campo cuyos orígenes se remontan a mediados del siglo pasado, estudia en qué momento la conectividad de una red pasa de ser local a global.

Gracias a varios avances teóricos y a las simulaciones por ordenador, en los últimos años este formalismo ha permitido analizar todo tipo de transiciones, desde el comienzo de una pandemia hasta la viralización de un meme en redes sociales.

Cuando pulsamos «enviar» tras escribir un mensaje de texto, es fácil imaginar que la nota viajará directamente desde nuestro teléfono hasta el del destinatario. Pero, en realidad, suele efectuar un largo periplo a través de una red de telefonía móvil o de Internet, las cuales dependen de una infraestructura centralizada que puede sufrir daños por desastres naturales o ser bloqueada por un Gobierno represivo. Por miedo a la vigilancia o la interferencia del Estado, los participantes en las protestas de Hong Kong de 2019 y 2020 que tenían conocimientos técnicos evitaron Internet y emplearon programas como FireChat y Bridgefy para enviar mensajes de forma directa entre teléfonos próximos.

Esas aplicaciones permiten que una misiva salte de un móvil a otro hasta poner en contacto al emisor con el receptor, que son los únicos capaces de ver el mensaje. Los conjuntos de teléfonos vinculados, conocidos como «redes en malla» o «redes móviles ad hoc», posibilitan una comunicación flexible y descentralizada. Pero, para que dos terminales cualesquiera se comuniquen, deben estar conectadas por una cadena de teléfonos. ¿Cuántas personas repartidas a lo largo de Hong Kong han de estar vinculadas por la misma red en malla para posibilitar la comunicación a través de la ciudad?

 

WEE PEOPLE FONT, PROPUBLICA Y ALBERTO CAIRO (<em>siluetas</em>); JEN CHRISTIANSEN (<em>ilustraciones</em>)


Una rama de las matemáticas denominada teoría de la percolación ofrece una respuesta sorprendente: unas pocas personas pueden cambiarlo todo. A medida que los usuarios se unen a la red, van surgiendo focos aislados de teléfonos conectados. Pero la comunicación completa de este a oeste o de norte a sur aparece de repente, cuando la densidad de usuarios supera cierto umbral. Los científicos describen este rápido cambio en la conectividad de una red mediante una transición de fase: el mismo concepto usado en física para tratar los cambios bruscos en el estado de agregación de un material, como la fusión del hielo o la ebullición del agua.

WEE PEOPLE FONT, PROPUBLICA Y ALBERTO CAIRO (<em>siluetas</em>); JEN CHRISTIANSEN (<em>ilustraciones</em>)


La teoría de la percolación examina las consecuencias de crear o eliminar enlaces de manera aleatoria en este tipo de redes. Para los matemáticos, tales redes quedan definidas por un conjunto de nodos (puntos) unidos entre sí por una serie de enlaces, o aristas (líneas). Cada nodo simboliza un objeto, como un teléfono o una persona, y las aristas representan una relación entre dos de ellos. La idea fundamental de la teoría de la percolación, que se remonta a los años cincuenta del siglo pasado, es que, al aumentar el número de enlaces de una red, surge de repente una agrupación global de nodos conectados.

La pregunta que tratan de responder los científicos es: ¿cuándo ocurre eso? Dada una red concreta, ¿cuál es el equivalente de los 0 grados Celsius a los que se derrite el hielo o los 100 grados Celsius a los que hierve el agua? ¿En qué momento se hace viral un meme, pasa un producto a dominar un mercado o se desencadena un terremoto? ¿Cuándo alcanza una red de teléfonos móviles la conectividad plena? ¿Cuándo se convierte una enfermedad en pandemia? La teoría de la percolación permite comprender mejor todas esas transiciones.

Los matemáticos suelen estudiar redes idealizadas, con una geometría simétrica y una extensión infinita, ya que son estas las que se prestan a los cálculos teóricos. En general, las redes infinitas son las únicas que exhiben transiciones de fase realmente abruptas. Las redes de la vida real presentan un tamaño finito, suelen ser desordenadas y exigen cálculos complejos. Pero también presentan transiciones, aunque más suaves. A medida que el mundo deviene cada vez más interconectado por complejas capas de enlaces que transportan personas, que les proporcionan energía mediante redes eléctricas, que las ponen en contacto a través de redes sociales o de redes de contagio que propagan enfermedades, la teoría de la percolación está cobrando una importancia cada vez mayor para entender nuestras sociedades.

Cambios repentinos

En 1957, los matemáticos británicos Simon Ralph Broadbent, de la Unión de Fabricantes de Botellas del Reino Unido, y John Michael Hammersley, de la Institución para la Investigación en Energía Atómica, plantearon por primera vez la teoría de la percolación como un problema puramente matemático. La abstrajeron del estudio de la percolación en química, donde describe cómo se filtra un fluido a través de un material, como el petróleo a través de una roca porosa o el agua a través del café molido. La red de percolación de una capa de roca está formada por los pequeños orificios de su estructura (los nodos) junto con las grietas que permiten que el fluido circule entre ellos (las aristas). Como es lógico, el petróleo fluye mejor a través de las rocas más fracturadas. A partir de su teoría de la percolación, Broadbent y Hammersley predijeron que, en una roca idealizada, el petróleo pasaría de fluir solo en pequeñas regiones a impregnar de repente casi toda la roca cuando la densidad de grietas superase un cierto valor umbral.

Los geólogos emplean una versión de la teoría de la percolación para estudiar el tamaño de las agrupaciones de nodos en las rocas fracturadas, un factor relevante para la extracción de petróleo mediante fracturación hidráulica o para el estudio de terremotos. Para modelizar estos últimos, los sismólogos crean redes de percolación que reproducen la escala y la densidad de las grietas observadas, e incluyen las tensiones ajustando la probabilidad de que esas fisuras se unan. Las agrupaciones van extendiéndose a medida que aumentan las tensiones y las conexiones hasta que, de manera súbita e imprevisible, se produce un terremoto. Algunas versiones modificadas del proceso permiten que las grietas se cierren y vuelvan a abrirse para simular réplicas sísmicas o cambios a largo plazo.

La teoría de la percolación también arroja luz sobre fenómenos físicos y químicos que ocurren a escalas mucho menores, como la polimerización, el proceso por el que pequeñas moléculas simples, denominadas monómeros, se unen para formar agrupaciones mayores. En el marco de la teoría de la percolación, cada monómero actúa como un nodo, y dos monómeros vecinos pueden formar espontáneamente un enlace químico, lo que equivale a una arista. Si la probabilidad de que dos de ellos se unan aumenta, el sistema acabará alcanzando el umbral de percolación y surgirá un enorme polímero conectado. Este proceso es el que, por ejemplo, hace que cuaje la gelatina en polvo disuelta en agua.

Las redes de rocas fracturadas o las que forman los polímeros son muy intrincadas, por lo que resulta casi imposible describir de forma precisa su estructura. Sin embargo, Broadbent y Hammersley demostraron que esta puede aproximarse mediante patrones repetitivos que sí se prestan al análisis. El ejemplo más sencillo lo hallamos en una red cuadrada, similar una hoja infinita de papel cuadriculado, en la que cada nodo queda conectado por cuatro aristas a sus vecinos.

Para entender cómo se desplazaría un fluido a través de una red cuadrada, imaginemos que cada arista es una tubería que puede encontrarse abierta o cerrada. Podemos determinar el estado de cada una lanzando al aire una moneda. La disposición de tuberías abiertas y cerradas así obtenida constituye una red aleatoria, la cual contendrá algunas agrupaciones abiertas: conjuntos de nodos en los que todos ellos estarán conectados mediante tuberías abiertas. Si vertemos agua en un nodo cualquiera de una de esas agrupaciones, el líquido fluirá a través de las tuberías hasta llegar a todos los nodos de la agrupación.

JEN CHRISTIANSEN

JEN CHRISTIANSEN


La teoría de la percolación se ocupa de la conectividad de la red, que dependerá de cuán grandes sean las agrupaciones abiertas. Pero «grande» es un concepto ambiguo que no se presta demasiado bien al formalismo matemático, por lo que los investigadores suelen remplazar los números grandes por el infinito. Así pues, la pregunta clave pasa a ser si existe o no una agrupación infinita. «Responder a tales preguntas de tipo “sí o no” resulta mucho más fácil que especificar cuántas agrupaciones vemos de cada tamaño», señala Benedikt Jahnel, matemático del Instituto Weierstrass de Análisis Aplicado y Estocástica de Berlín.

De hecho, la probabilidad de que una red infinita posea una agrupación infinita es siempre 0 o 1. Ello se debe a que el proceso de percolación se encuentra sujeto a un principio general llamado «ley cero-uno», descubierto por el matemático soviético Andréi Kolmogórov en los años treinta del siglo pasado. Imaginemos que lanzamos una moneda al aire infinitas veces. La ley cero-uno atañe a toda pregunta sobre los resultados cuya respuesta no dependa de un número finito de lanzamientos. Por ejemplo, la respuesta a la cuestión «¿ha salido cara infinitas veces?» no varía si modificamos un número finito de lanzamientos de moneda. En cambio, la respuesta a «¿ha salido cara la tercera vez?» puede cambiarse alterando un solo lanzamiento.

La ley cero-uno establece que los cambios de tamaño finito no pueden perturbar los fenómenos que son infinitos por naturaleza. De modo que la probabilidad de encontrar una agrupación infinita en una red infinita no puede alterarse un poco (por ejemplo, de 0,81 a 0,82), sino que debe adoptar uno de los valores extremos: 0 o 1. Dicho de otro modo, una red infinita, o bien no tiene ninguna agrupación infinita (la probabilidad de encontrar una agrupación infinita es 0), o sí la tiene (la probabilidad es 1).

Como consecuencia, cambiar un número finito de tuberías abiertas por cerradas, o viceversa, no afecta a la posible existencia de una agrupación abierta infinita. La probabilidad de hallar una de tales agrupaciones es 0 o 1. Pero ¿cuál de las dos?

Encontrar el umbral

La respuesta depende de la propensión de nuestra moneda a caer cara o cruz. Supongamos que disponemos de un dial que controla esa tendencia. Si lo giramos completamente hacia la izquierda, la moneda siempre caerá cruz, lo que supondremos que equivale a cerrar nuestra tubería. Una vez que todas las tuberías estén cerradas, el agua vertida en un nodo cualquiera no fluirá a ninguna parte, por lo que la probabilidad de encontrar una agrupación infinita será 0. A medida que giremos el dial, aumentará la probabilidad de que la moneda caiga cara, por lo que cada vez habrá más tuberías abiertas. Cuando el dial llegue al otro extremo, la moneda siempre caerá cara, todas las tuberías estarán abiertas y el agua vertida en cualquier nodo acabará llegando a todos los demás. En esta situación, la probabilidad de encontrar una agrupación infinita es 1.

Si giramos poco a poco el dial, la probabilidad de que las tuberías estén abiertas aumentará de forma gradual, lo que podría hacernos pensar que la probabilidad de encontrar una agrupación infinita también debería pasar paulatinamente de 0 a 1. Pero, en realidad, el cambio se produce de manera instantánea debido a la ley cero-uno, la cual dicta que nuestra probabilidad no puede tomar un valor intermedio entre 0 y 1. En el caso de una red cuadrada, la probabilidad salta de 0 a 1 cuando el dial se encuentra exactamente en el centro; es decir, si efectuamos nuestros lanzamientos con una moneda justa. Esta posición crítica del dial se conoce como umbral de percolación. Sea cual sea la forma de la red (ya se trate de una red triangular o de una versión tridimensional de la red cuadrada, por ejemplo), la pregunta clave a la que se enfrenta la teoría de la percolación es siempre la misma: ¿dónde se encuentra el umbral? ¿Cuán trucada ha de estar nuestra moneda para que se abran los enlaces suficientes y podamos garantizar la existencia de una agrupación abierta infinita?

JEN CHRISTIANSEN


La respuesta depende de la forma de la red, y hallarla no es nada fácil. Incluso en una red cuadrada, el sistema más sencillo posible, demostrar que el umbral se encuentra en 1/2 (es decir, en el equivalente a una moneda justa) supuso un reto de enormes proporciones que no fue resuelto hasta 1980, cuando lo logró el matemático Harry Kesten, de la Universidad Cornell. Y pese a décadas de esfuerzos, hoy solo se conoce el valor exacto del umbral de percolación para unas pocas redes simples. «Se ha trabajado muchísimo en la mera cuestión de hallar el umbral», afirma Robert M. Ziff, físico estadístico de la Universidad de Míchigan. «Es increíble la cantidad de sistemas distintos que se han analizado.» Ziff creó una página de Wikipedia que documenta los umbrales de percolación de cientos de redes diferentes. El de la red triangular se ha determinado de forma analítica y se halla en torno a 0,347, pero la gran mayoría de los valores de esa página (incluido el umbral de una red tridimensional cúbica) son aproximaciones obtenidas a partir de simulaciones informáticas.

Redes en malla

Los retículos constituyen un buen modelo para estudiar la percolación en sistemas físicos como las rocas fracturadas, donde los orificios se hallan en lugares fijos y las grietas entre ellos se forman al azar. Sin embargo, otras redes del mundo real son mucho más complejas. En las redes en malla de FireChat y Bridgefy que mencionábamos al principio, la ubicación de los nodos (los teléfonos de los manifestantes de Hong Kong) cambiaba sin cesar. En estas redes, las conexiones se forman cuando dos teléfonos se sitúan lo suficientemente cerca uno de otro, donde el alcance viene determinado por las decenas de metros que soportan las aplicaciones basadas en Bluetooth con las que se comparten los mensajes. Tales redes se describen con un modelo diferente, conocido como «percolación continua», ya que los nodos pueden encontrarse en cualquier punto de un espacio continuo.

Como cualquier modelo matemático, la versión abstracta de estas redes se basa en simplificaciones. Los teléfonos inteligentes se distribuyen de forma aleatoria, sin imitar las agrupaciones y los patrones naturales que mostraría un mapa de los movimientos de la gente, y dos terminales están conectados o no exclusivamente en función de la distancia que medie entre ellos, sin tener en cuenta las paredes u otros obstáculos. No obstante, el modelo pone de manifiesto el papel clave que desempeña la teoría de la percolación en las redes en malla del mundo real.

Hay dos maneras de aumentar la conectividad de esa red de percolación continua: permitir conexiones directas a distancias mayores, o añadir más teléfonos, con lo que aumenta la densidad de usuarios. Podemos pensar en estas modificaciones en términos de diales como los descritos para la red de tuberías: girar cualquiera de ellos hacia la derecha potenciará la conectividad. Y, según estos modelos, «hay un momento en el que la conectividad pasa de ser local a global», apunta Jahnel.

Para quienes diseñan aplicaciones de redes en malla, hallar el umbral de percolación supone un problema práctico de ingeniería. Cambiar la potencia del dispositivo, que controla el alcance, equivale a girar el dial. Para Ram Ramanathan, científico jefe de la empresa de redes en malla goTenna, la pregunta fundamental es qué potencia de transmisión hay que elegir para obtener una red conectada. La respuesta sería bastante sencilla si la relación entre potencia y conectividad fuera lineal; es decir, si cada pequeño aumento de la potencia produjera un incremento proporcional en la conectividad. Sin embargo, la existencia de un umbral de percolación conlleva un riesgo: la red podría perder la conectividad de repente a medida que la gente se desplaza. Por tanto, la potencia óptima es la que garantiza que la red permanece siempre conectada sin derrochar energía.

El otro dial corresponde a la densidad de teléfonos. Las redes en malla con un alcance fijo necesitan una densidad crítica de usuarios, y es más probable que ofrezcan una conectividad generalizada en eventos multitudinarios, como un festival de música, un partido de fútbol o una gran manifestación. Jorge Ríos, director general y cofundador de Bridgefy, afirma que la empresa registró grandes picos de nuevos usuarios en Cachemira, Nigeria, Hong Kong e Irán durante períodos de revueltas civiles, cuando la gente recurrió a las redes en malla para preservar las comunicaciones en caso de que el Gobierno bloqueara Internet o las grandes multitudes saturaran las conexiones móviles. Algunos barrios, como el de Red Hook en Brooklyn, usan las redes en malla para ampliar el acceso a Internet estableciendo nodos permanentes en la parte superior de los edificios. Aunque todavía se están desarrollando gran parte de los componentes y las técnicas de enrutamiento necesarias, es fácil imaginar algunas aplicaciones futuristas. Por ejemplo, los vehículos autónomos podrían comunicarse directamente entre sí para compartir información sobre el estado del tráfico o las incidencias en la carretera sin depender de ninguna infraestructura adicional.

Redes de contagio

Las redes empleadas para modelizar el flujo de petróleo a través de las rocas o la comunicación directa entre teléfonos imitan la estructura espacial de dichos sistemas: dos nodos estarán unidos por una arista si los objetos que representan se encuentran próximos entre sí en el espacio físico. Pero, en las redes que describen la propagación de una enfermedad, los enlaces vienen determinados por las vías de transmisión del patógeno. Este tipo de redes son especialmente enmarañadas, ya que una persona infectada que pase una hora en una discoteca de una gran ciudad puede transmitir el virus a otra que tal vez lo lleve después hasta la otra punta del país o incluso a otro continente.

Los modelos epidemiológicos más sencillos dividen a la gente en tres categorías: vulnerables, infectados y recuperados. Sin embargo, no atienden a la compleja estructura de sus conexiones. En ellos, los infectados contagian de forma aleatoria a otras personas vulnerables bajo el supuesto de que todos los que pertenecen a ese grupo (los estudiantes de una residencia o los habitantes de una ciudad) presentan la misma probabilidad de enfermar. El ritmo al que se contagian las personas vulnerables depende del número básico de reproducción, R0, que indica la cantidad media de nuevos contagios que provoca cada persona infectada. Si R0 es mayor que 1, el virus se está propagando; si es menor que 1, el brote se está extinguiendo.

Pero, en la práctica, la forma en que interactúan las personas influye en la transmisión global de la enfermedad. Por ejemplo, la epidemia de síndrome respiratorio agudo grave (SARS) de 2002 inicialmente presentó valores de R0 entre 2,2 y 3,6. Sin embargo, el número de casos fue «mucho menor del que habríamos esperado durante ese período a partir de un simple cálculo», escribió en 2007 Lauren Ancel Meyers, actual directora del Consorcio de Modelización de la COVID-19 en la Universidad de Texas. La discrepancia, argumentaba, se debía a la suposición de que todas las personas vulnerables tenían la misma probabilidad de infectarse, lo que justamente pasa por alto la complejidad de las redes de contactos entre personas. De hecho, los valores de R0 calculados para el SARS se habían basado en su rápida propagación en bloques de pisos y hospitales, entornos que presentan tasas anormalmente elevadas de contactos estrechos, por lo que no son aplicables a la población general. Sin embargo, dado que los infectados enfermaban muy deprisa, acababan en el hospital antes de que pudieran contagiar a mucha gente fuera de ellos.

En la red de transmisión de una enfermedad, las aristas expresan relaciones concretas. En una asociada a la propagación del VIH, por ejemplo, dos personas estarán conectadas si han intercambiado fluidos corporales. Pero, en una referida a la COVID-19, las aristas representarán un contacto estrecho sin protección respiratoria, por lo que exhibirán una estructura muy diferente. Los confinamientos, los cierres de negocios y las limitaciones de movilidad alterarán esa estructura. Y, junto con las mascarillas y el distanciamiento físico, impedirán que el virus salte de una persona (un nodo) a otra. Un reto para los epidemiólogos consiste, precisamente, en encontrar medidas que causen una desconexión suficiente de la red.

Las redes de contactos asociadas a las enfermedades del mundo real, como las de propagación de la COVID-19, son muy enrevesadas y difíciles de describir con precisión. Y aunque conociéramos su estructura exacta, estudiarlas matemáticamente tampoco sería nada sencillo. Las simulaciones por ordenador y el análisis de grandes cantidades de datos permiten estimar el número de casos, evaluar el impacto de cambiar la distancia social de uno a dos metros, o cuantificar la influencia de las escuelas o los restaurantes en la transmisión del virus. Alessandro Vespignani, experto en teoría de redes complejas de la Universidad del Nordeste de EE.UU., califica estas investigaciones como su trabajo «en tiempos de guerra»: es táctico y a veces desordenado, pero genera los resultados numéricos inmediatos que necesitan los responsables políticos y el personal sanitario. Según Vespignani, él y sus colaboradores crean una especie de «sociedad sintética» que simula a las personas en un ordenador.

Vespignani habla de su trabajo «en tiempos de paz» para referirse a los períodos en los que se desarrolla el modelo, se evalúan las distintas maneras de modelizar las cosas, se trazan estrategias concretas y se busca la manera de mejorar sus resultados. Y para obtener una comprensión teórica de cómo influye la estructura de una red en la propagación de una enfermedad, los científicos recurren a la teoría de la percolación.

Las herramientas que ofrecen las matemáticas tradicionales de lápiz y papel funcionan solo en los casos más simples, cuando la red exhibe un orden y una simetría artificiales. Aun así, «esas matemáticas son clave para guiar nuestra comprensión», sostiene Vespignani. Para ello, los epidemiólogos de redes reducen la red a sus propiedades esenciales, una de las cuales es su «distribución de grados». El grado de un nodo indica el número de nodos con los que está conectado. En la red cuadrada, por ejemplo, todos los nodos tienen grado cuatro. En cambio, en la red de transmisión de una enfermedad, el grado presenta grandes variaciones, ya que algunas personas tienen una enorme cantidad de contactos, mientras que otras pueden hallarse prácticamente aisladas.

La distribución de grados de una red nos da la probabilidad de que un nodo tomado al azar tenga un cierto grado. En las redes de transmisión de enfermedades, eso se traduce en la probabilidad de un individuo de contagiar a un determinado número de personas (o de ser contagiado por ellas). Para entender cómo afecta este aspecto al umbral de percolación, los epidemiólogos matemáticos, como Meyers, generan miles de redes de muestra, las cuales son básicamente aleatorias excepto por una característica: todas presentan la misma distribución de grados. Esta estrategia permite extraer el papel que desempeña la distribución de grados en el comportamiento de la red. Si las propiedades de las redes así generadas concuerdan con las de las redes del mundo real, es probable que la distribución de grados sea relevante para la propagación de la enfermedad, explica Meyers. Si la coincidencia fuese perfecta, «los resultados matemáticos serían justo como los de las simulaciones», añade el experto.

Los estudios demuestran que, en líneas generales, el umbral de percolación de una red disminuye cuando esta presenta una distribución de grados más ancha; es decir, si los grados de los distintos nodos abarcan un intervalo más amplio. Así pues, una enfermedad se propagará con mayor facilidad en una red en la que algunas personas estén muy conectadas y otras muy aisladas, que en una donde todas tengan aproximadamente el mismo número de contactos. Joel Miller, epidemiólogo matemático de la Universidad La Trobe, en Melbourne, explica el fenómeno de manera heurística: «Si tengo 10 veces más contactos que otra persona, presentaré una probabilidad 10 veces mayor de infectarme y una probabilidad 10 veces mayor de contagiar que ella, por lo que seré 100 veces más importante en cuanto a la transmisión de la enfermedad».

Redes del futuro

La teoría de la percolación sirve para modelizar otros fenómenos de «contagio», como cuando un meme va popularizándose poco a poco en una red social hasta que de repente se hace viral. Puede también aplicarse a modelos económicos para demostrar que un determinado producto llegará a dominar con rapidez el mercado si la gente lo recomienda lo suficiente entre sus contactos. Y los modelos de votantes, donde las personas ejercen una influencia sobre su comunidad, presentan asimismo efectos de umbral.

A diferencia de las redes infinitas y ordenadas que tradicionalmente han estudiado los matemáticos, las derivadas de ejemplos reales tienen una extensión finita y son intrincadas. Las redes finitas no pasan al instante de estar conectadas en pequeños focos a estarlo en casi todas partes. Sin embargo, dicho cambio sí se produce con gran rapidez. Para entender estos procesos, los expertos alternan entre las matemáticas y las simulaciones por ordenador: las redes más simples les ayudan a construir modelos informáticos de redes reales, cuyos resultados ayudan a su vez a modificar los modelos de lápiz y papel para obtener más información sobre las redes del mundo real.

Numerosos modelos de redes que describen la transmisión de la COVID-19 integran información de otras redes. Los sistemas escolares, los trayectos de los trenes y los horarios de los empleados de los hospitales forman redes, y todas ellas influyen en el curso de la pandemia. «Vivimos en un sistema de redes interdependientes y no podemos pensar en una de ellas sin entender las repercusiones de las demás», apunta Raissa D’Souza, experta en teoría de redes complejas de la Universidad de California en Davis. Cada red constituye un sistema complejo distinto con su propio comportamiento emergente, y cada vez es más frecuente acoplar esas redes para crear sistemas aún más complejos. Sin embargo, no existe un marco teórico claro para estudiar tales redes de redes. Entender cómo se ven afectadas las propiedades del conjunto por las de las redes constituyentes es uno de los retos a los que se enfrenta la disciplina.

«No vivimos en una burbuja ni en un mundo totalmente mezclado. Vivimos en un mundo con contactos, seguimos cuentas de Twitter, y esos son ámbitos donde entran en juego la percolación y otros modelos», concluye Vespignani. Comprender mejor esos modelos teóricos puede «marcar la diferencia en el futuro», arguye el investigador. Las redes de percolación son muy adaptables, lo que genera nuevas posibilidades para los matemáticos y aplicaciones prácticas para los científicos. No obstante, todos esos modelos tan diversos comparten un rasgo sorprendente: poseen un abrupto punto de inflexión en el que añadir unas pocas conexiones basta para vincular toda la red. A medida que el mundo se conecta cada vez más, la necesidad de entender esas transiciones será cada vez más imperiosa.

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