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El problema (matemático) con los pentágonos

Los triángulos y los cuadrados permiten embaldosar fácilmente el plano. ¿Por qué los pentágonos no?

Teselación de Rice: La figura muestra una de las pocas maneras posibles de recubrir un plano con baldosas pentagonales sin dejar huecos. Este mosaico fue descubierto en 1977 por Marjorie Rice, un ama de casa sin formación matemática que se interesó por el problema a raíz de la lectura de una columna de Martin Gardner en Scientific American. [© QUANTA MAGAZINE]

Las fichas de madera de los niños yacen esparcidas por el suelo. Usted empieza a jugar con ellas (cuadrados, rectángulos, triángulos y hexágonos), moviéndolas, volteándolas e intentando encajarlas. Siente una satisfacción primaria al crear un patrón perfecto a partir de estas formas; una experiencia con la que probablemente haya disfrutado otras veces. Pero, entre todas las piezas planas diseñadas para jugar en el suelo o sobre una mesa, ¿acaso ha visto alguna con forma de pentágono?

El ser humano lleva miles de años estudiando cómo encajar distintas formas geométricas para hacer juguetes, suelos, paredes y obras de arte, y también para entender las matemáticas que hay detrás. Pero, hasta el año pasado, nadie había conseguido resolver de una vez por todas la cuestión de cómo recubrir completamente el plano con polígonos de cinco lados. ¿Por qué han planteado los pentágonos un problema tan complejo durante tanto tiempo?

Teselaciones regulares
Para entender la cuestión, comencemos con una de las estructuras geométricas más sencillas y elegantes: las teselaciones regulares del plano. Se trata de disposiciones de polígonos regulares que recubren el plano por completo y a la perfección, sin superposiciones ni huecos. Pensemos en las teselaciones con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Podemos verlas en suelos, paredes y colmenas, y las usamos para empaquetar, organizar y construir cosas de manera más eficiente. Decimos que estas teselaciones son «monoédricas», ya que están formadas por un solo tipo de pieza, o tesela poligonal; «arista con arista», lo que significa que las esquinas de cada polígono siempre coinciden con otras esquinas; y «regulares», porque la tesela que se repite es un polígono con todos los lados y ángulos idénticos.

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Este artículo apareció originalmente en QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

 

Curiosamente, los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares proporcionan las únicas teselaciones monoédricas, arista con arista y regulares del plano. Los matemáticos lo expresan diciendo que ningún otro polígono regular «admite» una teselación monoédrica y arista con arista del plano. Este importante resultado es, en realidad, bastante fácil de demostrar usando tan solo dos sencillas propiedades geométricas.

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